Prof. Dra. Kiki Ariyanti Sugeng, M.Si., Ph.D.

Video ini membahas prinsip pigeonhole dalam matematika diskrit terkait perhitungan barisan bilangan bulat, di mana setiap barisan n kuadrat plus 1 bilangan bulat yang berbeda akan mengandung subbarisan dengan panjang n plus 1 yang barisannya naik atau turun. Prinsip ini juga diterapkan dalam menunjukkan sifat yang berkembang menjadi teori menarik, seperti teori remsi, yang mempertimbangkan hubungan antara orang yang saling berteman atau tidak dalam sebuah kelompok. Dengan menggunakan prinsip pigeonhole, teori remsi dapat digunakan untuk menentukan jumlah minimum orang dalam sebuah pesta yang saling berteman atau tidak, dengan asumsi setiap pasangan orang adalah teman atau bukan teman. Penelitian lebih lanjut tentang teori remsi dan bilangan remsi masih menjadi topik yang terbuka untuk dieksplorasi.

Prinsip pigeonhole ini juga bisa digunakan untuk melihat barisan dari bilangan bulat,

jadi ada sifatnya yang mengatakan atau teoremanya mengatakan setiap barisan n kuadrat plus 1

bilangan bulat yang berbeda mengandung subbarisan dengan panjang n plus 1 yang barisannya naik atau turun.

Jadi kita lihat contohnya, misalnya saya punya barisan 8, 11, 9, 1, 4, 6, 12, 10, 5, dan 7

itu ada 10 suku tidak beraturan jadi ini naik turun, naik turun,

kalau kita perhatikan 10 itu akan sama dengan 3 kuadrat plus 1, jadi di sini n nya akan sama dengan 3,

jadi di dalam barisan ini kita bisa menjamin ada n plus 1 yaitu 4 barisan dengan elemen 4 bilangan yang naik atau turun,

jadi kalau kita lihat di sini kita punya 1, 4, 6, 12 jadi subbarisan dari yang tadi barisan yang berisi 10 suku,

kemudian ada 1, 4, 6, 7, 1, 4, 6, 10, dan 1, 4, 5, 7 itu adalah 4 subbarisan yang nilainya naik,

kemudian juga ada subbarisan turun dengan panjang 4 yaitu 11, 9, 6, 5,

jadi di dalam contoh ini kita hanya mengatakan bahwa kalau kita punya n kuadrat plus 1 bilangan bulat yang nilainya berbeda

pasti ada subbarisan yang panjangnya n plus 1 nilainya naik semua atau nilainya turun semua,

itu ada jaminannya dengan prinsip pigeonhole ini.

Kemudian ada prinsip pigeonhole ini juga digunakan untuk menunjukkan suatu sifat

yang sifat ini nanti akan berkembang menjadi teori yang cukup menarik untuk diteliti lebih lanjut,

jadi menjadi topik bahasan atau topik penelitian yang cukup banyak dilakukan orang.

Jadi ceritanya begini, kita asumsikan ada satu kelompok yang isinya 6 orang,

setiap pasangan individu yang terdiri dari 2 orang itu saling berteman atau tidak saling berteman,

jadi ini ceritanya ketemu di suatu apa namanya 6 orang ini ketemu mungkin di restoran,

nanti ada 2 yang saling berteman atau 2 yang tidak saling berteman artinya belum kenal sebelumnya.

Ini bisa ditunjukkan bahwa ada 3 orang yang saling berteman atau 3 orang yang tidak saling berteman dalam kelompok,

syaratnya tadi pasti ada 2 yang saling berteman dan 2 yang tidak kenal satu sama lain,

jadi ini bukan sengaja ketemu, kalau sengaja ketemu kan pasti kenal semua.

Sekarang misalnya salah satu orang itu kita kasih nama A,

yang lain itu pasti temannya si A atau belum kenal sama A kemungkinannya.

Dengan menggunakan prinsip pigeonhole yang umum ini,

karena 5 orang ini terbagi dalam 2 himpunan artinya kenal sama A dan yang tidak kenal sama A,

maka salah satu himpunan itu paling sedikit mempunyai 5 per 2 pakai saling,

karena di sini 5 per 2 itu 2,5 jadi berarti 3 anggota misalkan namanya BCD yang merupakan teman dari A.

2 dari 3 teman dari A ini akan membentuk himpunan yang saling berteman dengan BCD

atau membentuk kelompok yang tidak mengenal A,

jadi 3 orang ini emang kenal semua sama A atau tidak kenal sama A.

Nah, ide ini memunculkan suatu teori yang kita sebut sebagai teori remsi,

biasanya ditulis bilangan remsi itu adalah RMN,

M dan N ya bilangan bulat positif yang lebih besar atau sama dengan 2,

di sini RMN itu yang menunjukkan banyaknya minimum orang di sebuah pesta sedemikian rupa,

ada N orang yang saling berteman atau tidak saling berteman,

dengan asumsi setiap pasangan orang di pesta itu adalah teman atau bukan teman.

Jadi, untuk contoh sebelumnya itu menunjukkan bahwa R33 itu lebih kecil sama dengan 6,

artinya ada 3 orang yang tidak kenal atau 3 orang yang saling kenal,

maka tidak mungkin ada 3 orang yang saling berteman dan 3 orang yang tidak saling berteman,

sehingga tidak mungkin R33 itu kurang dari 6,

sehingga di sini kita bisa menyimpulkan R33 itu sama dengan 6,

itu kita sebut sebagai bilangan remsi R33 sama dengan 6.

Kalau kita perluas, kita tidak mengambil R33 tapi mengambil MN,

jadi orang mencoba mencari untuk MN tertentu berapa si RMN-nya.

Kalau Anda tertarik, Anda bisa lihat teori remsi atau bilangan remsi,

browsing untuk meneruskan penelitian yang sudah ada.