Prof. Dra. Kiki Ariyanti Sugeng, M.Si., Ph.D.

Video ini membahas konsep relasi n-ary dalam Matematika Diskrit, dengan fokus pada representasi relasi dalam bentuk matriks. Matriks relasi tersebut khusus dengan entri 0 dan 1, dimana 1 menunjukkan adanya relasi dan 0 menunjukkan tidak adanya relasi. Contoh penggunaan relasi dalam matriks adalah ketika menggambarkan hubungan "lebih besar dari". Selain itu, video juga menjelaskan konsep refleksif, simetris, dan antisimetris dari matriks relasi, serta batasan representasi matriks relasi untuk relasi n-ary. Penjelasan disajikan dengan contoh-contoh yang mudah dipahami tanpa menggunakan notasi matriks yang kompleks.

Relasi kita tadi sudah bahas, dia bisa dinyatakan dalam bentuk diagram, bisa dalam tabel, dan sekarang kita akan bahas relasi yang dinyatakan dalam bentuk matriks.

Relasi ini pada saat kita menyatakannya dalam bentuk matriks, matriksnya itu khusus yaitu matriks 01 dalam arti element atau entry-entrynya itu hanya 0 dan 1.

1 menyatakan kalau dia ada relasi, 0 menyatakan dia tidak ada relasi.

Jadi misalnya kita punya himpunan A itu A1 sampai AM, Bnya itu B1 sampai BN, maka relasinya itu kita tuliskan sebagai M dengan indeks R,

itu isinya adalah matriks dengan entry Mij dimana Mij itu 1 kalau AI, BJnya anggota R dan 0 kalau AI, BJnya bukan anggota R.

Dan matriksnya itu tidak harus bujur sangkar atau persegi kecuali kalau Bnya sama dengan A atau kecuali kalau elemennya sama.

Jadi kalau kita lihat contohnya misalnya Anya itu ada 3 elemen dalam himpunannya 1,2,3 dan Bnya itu elemennya 1,2.

Dan relasi AB itu misalnya kita pakai relasi yang A lebih besar B,

bagaimana matriks yang mewakili R disini A1 itu 1, A2 itu 2, A3 itu 3 dan B1nya itu 1, B2nya 2 itu diambil dari himpunannya tadi.

Karena relasinya adalah A lebih besar B maka kita punya elemennya adalah 2,1,3,1,3,2.

Jadi matriksnya itu barisnya dinyatakan dalam 1,2,3 kemudian kolomnya dinyatakan dengan 1,2.

Jadi kita lihat matriksnya disini 1,1 enggak masuk di dalam relasinya jadi kita tuliskan entrinya adalah 0.

1,2 juga enggak ada berarti 0 juga, 2,1 ada kita tuliskan 1, kemudian 2,2 tidak ada kita tuliskan 0, 3,1 ada kita tuliskan 1, 3,2 ada kita tuliskan 1.

Jadi itu adalah bentuk matriks MR yang kita definisikan sebagai A lebih besar B.

Kalau misalnya himpunannya itu dinyatakan dalam bentuk matriks MR yang entrinya 1,1,0 1,1,1 0,1,1 ini saya bacanya berbaris.

Kita bisa juga melihat apakah relasinya itu refleksif simetris atau antisimetris dari matriksnya.

Kalau dia refleksif itu artinya A,A nya kan harus ada di situ,

dalam hal ini karena ini sifatnya refleksif simetris dan antisimetris

maka untuk refleksif itu kan relasinya itu adalah dari harus berbentuk persegi disini

karena A,A itu harus ada di semua elemen artinya A,A harus ada di relasinya untuk setiap elemen.

Jadi kita lihat disini refleksif itu karena isinya A,A,B,B,C,C gitu ya

jadi kalau kita punya 1,2,3 misalnya elemennya maka kita punya 1,1,2,2 dan 3,3

sehingga nanti akan dinyatakan dalam diagonal matrixnya ini.

Kalau diagonal matrixnya itu satu semua maka relasinya adalah refleksif.

Kebetulan ini contoh kita diagonalnya itu satu semua berarti dia relasinya adalah refleksif.

Simetris kita lihat matriksnya, apakah matriksnya simetris enggak?

Kalau matriksnya simetris berarti relasinya juga ikut simetris

dan karena dia simetris berarti dia tidak antisimetris.

Sehingga kita bisa melihat sifat-sifat itu dengan mudah dari matriks

agak beda dengan kalau kita bentuk atau representasikannya dalam bentuk diagram.

Kemudian kalau kita lihat relasinya adalah R yang didefinisikan pada n x n x n

Kalau dia ABC itu misalnya ya elemennya ABC itu ABC-nya itu bilangan bulat

Terus kalau di sini kan kita lihat apakah bentuknya tergantung relasinya

di sini kalau relasinya dia A lebih kecil B lebih kecil C maka 1,2,3 itu masuk gitu ya

2,4,3 tidak karena 2 lebih kecil 4 tapi 4 tidak lebih kecil dari 3

berarti ini kalau relasinya A lebih kecil B lebih kecil C dia tidak masuk

derajatnya tadi 3 karena ada 3 triple ya elemennya dan itu adalah n x n x n

Kalau bentuk ini kita tidak bisa merepresentasikan dalam bentuk matriks

karena matriks itu ukurannya kan cuma bidang jadi kita cuma punya baris dan kolom.

Jadi relasinya hanya bisa direpresentasikan untuk yang himpunannya itu adalah n x n, A x A dan seterusnya

tapi kalau 3 berarti kita harus pakai matriks yang diperluas yang bentuknya nanti jadi kubus

tapi kita tidak belajar di sini matriks yang kita kenal adalah matriks seperti yang bentuk Aij gitu ya

elemennya adalah Aij atau entrinya adalah Aij.