Prof. Dra. Kiki Ariyanti Sugeng, M.Si., Ph.D.

Video ini membahas teorema terkait sifat-sifat pembagian bilangan bulat, termasuk sifat transitif dan distributif. Dalam teorema tersebut, terdapat tiga sifat penting yang harus dibuktikan, di antaranya adalah A membagi B dan A membagi C, maka A membagi jumlahan dari B plus C. Selain itu, terdapat akibat langsung dari teorema tersebut yang menyatakan bahwa jika A membagi B dan A membagi C, maka A membagi MB plus NC dengan M dan N sebagai bilangan bulat. Proses pembuktian sifat-sifat tersebut melibatkan penggunaan definisi pembagian dan sifat distributif.

Kita lihat sifatnya kalau kita membicarakan terkait dengan pembagian ini.

Jadi misalkan saya punya A, B, dan C, itu bilangan bulat semua,

Sifatnya di dalam teorema ini yaitu kalau A membagi B dan A membagi C,

maka A itu akan membagi jumlahan dari B plus C.

Sifat yang kedua, kalau A membagi B, maka A juga membagi B kali C.

Berapapun C-nya, asalkan C-nya bilangan bulat.

Dan sifat yang ketiga, kalau A itu membagi B dan B membagi C,

Itu sifat yang sering kita sebut sebagai sifat transitif dari operasi pembagian.

Untuk melihat apakah suatu sifat itu benar atau tidak,

di dalam matematik kita harus bisa membuktikan sifat tersebut.

Jadi kalau sifat yang tadi ya, A membagi B dan A membagi C,

Untuk membuktikan semua sifat matematik, kita harus kembali ke definisi.

Artinya kita bisa mempunyai bilangan bulat.

Dalam hal ini saya ambil S, itu bilangan bulat.

Sehingga B itu bisa dituliskan sebagai A dikali S.

Sehingga C bisa dituliskan dalam A kali bilangan bulat tersebut.

Jangan pilih notasi yang sama dengan yang A membagi B.

Jadi kita pakai notasi lain atau variable lain, kita ambil T anggota Z.

Kemudian kita jumlahkan, karena kita ingin tahu A-nya itu membagi B plus C atau tidak.

Jadi kalau kita jumlahkan B plus C, nanti akan kita peroleh A kali S ditambah A kali T.

Kemudian kita menggunakan sifat distributif, berarti ini A dikali S plus T.

Dan S plus T-nya ini akan diketahui atau kita bisa tunjukkan dia juga bilangan bulat.

Sehingga menurut definisi A-nya ini membagi B plus C.

Bagaimana dengan sifat kedua dan sifat ketiga?

Sifat kedua tadi mengatakan kalau A membagi B, maka A membagi BC.

Silakan Anda coba sendiri di rumah seperti apa buktinya.

Jadi idenya adalah diketahui A membagi B, artinya kita punya bilangan S tadi misalnya.

Apakah kita bisa mendapatkan suatu bilangan bulat yang BC-nya akan sama dengan A dikalikan bilangan bulat tersebut?

Sifat yang ketiga caranya serupa, nanti Anda bisa coba sendiri.

Dari ketiga sifat itu, kita bisa memperoleh sifat lain yang merupakan akibat langsung dari teorema yang tadi kita sudah buktikan.

Jadi akibat 1-nya itu bunyinya jika A, B, dan C adalah bilangan bulat dengan A tidak sama dengan 0,

sehingga A membagi B dan A membagi C, maka A membagi MB plus NC apabila M dan N merupakan bilangan bulat.

Buktinya kita menggunakan sifat yang dari teorema 1 tadi.

Ini sifat yang kedua yang Anda harus buktikan sendiri.

Yaitu kita punya A membagi B, maka A membagi MB.

M dan N itu bilangan bulat, boleh sama atau tidak.

Tapi biasanya kita asumsikan yang berbeda, karena sama itu mungkin terlalu mudah.

Jadi nanti kita pakai sifat yang pertama tadi, penjumlahan A akan membagi MB plus NC.