Prof. Dra. Kiki Ariyanti Sugeng, M.Si., Ph.D.

Video ini membahas tentang teknik perhitungan lanjutan dalam Matematika Diskrit dengan fokus pada Teorema & 4 Himpunan. Pembahasan meliputi perluasan kardinalitas gabungan N himpunan A1, A2, sampai AN dengan menghitung jumlah kardinalitas masing-masing himpunan dan mengurangi kardinalitas irisan setiap dua himpunan. Penjelasan dilakukan dengan memastikan setiap elemen dari gabungan himpunan hanya terhitung tepat satu kali pada perhitungan. Contoh perhitungan disajikan untuk 4 himpunan dengan penjumlahan, pengurangan, dan penambahan kardinalitas irisan himpunan-himpunan tersebut.

Dari pembahasan yang sebelumnya yaitu tadi kardinalitas gabungan dua himpunan, tiga himpunan gitu ya,

kemudian kita bisa perluas itu menjadi ada N himpunan A1, A2, sampai AN.

Berapa kardinalitas dari A1 digabung A2 digabung sampai AN?

Ini kita bisa menghitung dengan cara pertama kita jumlahkan semua kardinalitas dari masing-masing,

habis itu kita kurangi dengan kardinalitas dari irisan setiap dua himpunan.

Karena pada saat mengurangi itu ada yang diantara tiga himpunan itu ada yang berlebih,

Lalu sampai nanti plus minus dan plus minus yang terakhir adalah kita tambahkan dari irisan dari N himpunan tadi.

Jadi kardinalitas A1 diiris A2 diiris A3 dan seterusnya sampai AN.

Sekarang bagaimana buktinya gitu, tadi kan kita coba cuma sampai tiga himpunan ya,

kok ini bisa diperluas atau digeneralisasi menjadi N himpunan.

Kita mau memastikan bahwa setiap anggota atau elemen dari A1 gabung A2 digabung A3 sampai AN

itu hanya terhitung tepat satu kali pada perhitungan yang di bagian kanannya.

Misalkan A nya itu anggota dari R buah himpunan dari A1 sampai AN dengan R nya antara 1 sampai N.

Maka A itu akan terhitung sebanyak kombinasi R1 karena dia diambil satu dari R himpunan pada sigma AI.

Untuk diirisannya dia akan terhitung sebanyak CR2,

artinya dia ngambil dua karena ada di AI dan AJ.

Jadi secara umum si elemen A tadi akan terhitung sebanyak kombinasi RM pada penyumblahan yang melibatkan M buah himpunan.

Kalau kita lihat A nya itu berarti terhitung sebanyak CR1 dikurangin CR2 ditambah CR3 sampai CNN di ruas kanan persamaannya.

Kalau kita lihat ini CR0 dikurangin CR1 ditambah CR2 sampai R1 CRR itu nilainya 0 dari pembicaraan atau diskusi sebelumnya.

Sehingga nanti kita bisa lihat CR0 itu adalah CR1 dikurangin CR2 ditambah CR3 sampai seterusnya sampai R1 R1 CNN.

Jadi setiap anggota A1 digabung A2 sampai AN itu terhitung tepat satu kali pada ruas kanan persamaan.

Sehingga nanti kita bisa lihat si CR0 itu akan menjadi koefisiennya di sini bisa kita hitung.

Kita lihat contohnya sekarang jangan banyak-banyak 4 himpunan kalau N nya 10 nanti panjang sekali kita nulisnya.

Kalau mengikuti tadi jadi kardinalitas dari gabungan AI untuk I nya 1 sampai 4 itu nanti kita jumlahkan semua kardinalitas dari A1 A2 A3 sampai A4.

Terus jangan lupa dikurangi dengan yang irisan dua-dua jadi A1 iris A2 A1 iris A3 A1 iris A4 A2 iris A3 dan A2 iris A4 sampai A3 iris A4 itu semua tandanya minus.

Terus tadi dikuranginya kebanyakan jadi kita tambahkan lagi kardinalitas dari yang 33 A1 iris A2 iris A3 A1 iris A2 iris A4 A1 iris A3 iris A4 dan A2 iris A3 iris A4.

Sekarang jumlahnya ini terlalu banyak juga kita kurangi lagi dengan yang irisan 4 himpunan tadi.

Jadi ini adalah perhitungan kalau 4 himpunan.