Ledi Trialdi, S.E., M.P.P.

Video ini membahas contoh aplikasi ekonomi dalam minimisasi anggaran dengan menggunakan optimisasi kendala persamaan. Dalam kasus ini, fungsi objektifnya adalah fungsi anggaran, bukan selalu maksimisasi utilitas. Metode Lagrange digunakan untuk menyelesaikan optimisasi dengan kendala persamaan. Dengan mengidentifikasi nilai kritis X, Y, dan lambda, serta mengevaluasi second order condition, diperoleh budget minimum sebesar 80 sebagai hasil optimisasi. Metode ini memastikan bahwa diferensial kedua dari fungsi objektifnya adalah positif, mengkonfirmasi hasil budget minimum yang diperoleh.

Oke, ini contoh yang keempat, nah kita sebelumnya di contoh yang paling awal saat saya menjelaskan pertama kali mengenai optimisasi dengan kendala persamaan,

kita berbicara mengenai maksimisasi utilitas, gitu ya, dengan kendala berupa anggaran.

Sebelum ini, contohnya juga adalah maksimisasi utilitas, tapi dengan fungsi yang umum saya tampilkan.

Nah, sekarang kita coba lihat minimisasi anggaran, kita lihat sekarang selalu kalau kita bicara optimisasi,

kita harus menentukan objektifnya apa, ya.

Kalau dikatakan bahwa yang kita lakukan adalah minimisasi anggaran dengan subject atau dengan apa namanya,

dengan target tingkat utilitas tertentu, maka fungsi objektif kita adalah fungsi-fungsi anggaran, ya.

Jadi jangan selalu beranggapan bahwa kalau kasusnya ada utilitas, ada anggaran,

maka selalu kasusnya utilitasnya dimaksimumkan, utilitasnya menjadi fungsi objektif, tidak selalu, ya.

Bisa saja ada kasusnya adalah meminimalkan anggaran, kemudian ditargetkan tingkat utilitas tertentu.

Kalau objektifnya adalah meminimalkan anggaran, maka fungsi objektifnya adalah fungsi anggaran.

Misalnya kita punya anggarannya sebesar ini, ya, dinyatakan seperti ini,

B atau budgetnya sama dengan 40X tambah 10Y.

Nah, fungsi kendalanya ini adalah target utilitas tertentu,

jadi si individu ingin mendapatkan tingkat utilitas sebesar 2 dengan fungsi utilitas seperti ini,

tapi dia di sisi lain ingin meminimalkan anggaran dia.

Gimana caranya bisa mendapatkan utilitas segini, tapi anggarannya minimal, itu kasusnya, ya.

Oke, jadi jangan sampai tertukar mana yang objektif, mana yang kendala.

Oke, dan berikutnya, kita, karena kita tahu ini adalah optimisasi dengan kendala persamaan,

maka cara yang kita bisa tempuh adalah dengan menggunakan persamaan atau metode Lagrange.

Metode Lagrange dimulai dengan menuliskan fungsi atau persamaan Lagrange-nya.

Oke, dan kita lihat di sini, berbeda dengan sebelumnya, fungsi Lagrange kita yang di kasus kita sekarang, ya,

karena fungsi objektifnya adalah fungsi anggaran,

maka kita lihat elemen pertama dari persamaan Lagrange ini adalah ekspresi fungsi objektif kita,

Dan kemudian ditambah lambda, lambda kemudian di dalam kurung ini selalu mencerminkan ekspresi lain dari fungsi kendala kita.

Dan selalu yang di depan adalah konstannya, ya, 2, kemudian ini seolah-olah dipindahkan ke sebelah kanan menjadi 2 min,

tandanya ya, 2 min, X pangkat setengah, Y pangkat setengah.

Berikutnya, seperti biasa, setelah kita dapat persamaan Lagrange,

kita sudah mengakomodir kendala kita, anggaran kita, ya,

jadi sekarang seolah-olah kita sedang berhadapan dengan fungsi optimisasi multivariable tanpa kendala,

ya, karena kendala ini sudah masuk ke dalam fungsi Lagrange kita.

Oke, ini first order condition yang kita harus penuhi,

perhatikan, ya, parsial derivatif dari fungsi objektif kita terhadap choice variable,

2 choice variable utama kita, yaitu X dan Y, ZX, ZY,

dan kemudian yang terakhir nanti adalah fungsi anggaran kita atau parsial derivatif dari Z terhadap lambda.

semoga teman-teman bisa dapatkan dengan mudah di sini, ya,

dan kita punya X di sini, dan juga punya X di sini.

Oke, untuk X yang pertama turunannya gampang, ya, turunan Z terhadap 40X adalah 40,

dan untuk turunan yang kedua, nah ini kita Xnya ada di sini, ya,

Turunan parsialnya adalah ini, setengah, ya,

kali min 1 kali lambda, min setengah lambda,

dikalikan dengan X pangkat setengah dikurangi 1 atau X pangkat min setengah,

dan kemudian ini juga jangan lupa ini adalah koefisien yang melekat pada X

saat kita melakukan diferensiasi parsial Z terhadap X.

Ya, maka turunan parsial Z terhadap X di suku yang ini,

hasilnya adalah min setengah lambda, X pangkat min setengah,

Oke, pastikan teman-teman bisa mendapatkan ini.

ZY, turunkan Z terhadap Y, pertama mudah 10, ya, koefisien dari Y,

dan kemudian untuk yang berikutnya, Y ada di sini,

Turunannya adalah, ya, ini pangkatnya keluar, ya, pangkat setengah,

Nah, ini kan setengah udah kita keluarkan,

dikalikan dengan koefisien, koefisiennya adalah min X pangkat setengah lambda,

Saya tuliskan minnya di sini, ya, min setengah lambda X pangkat setengah,

dan jangan lupa juga, ini Y pangkat setengah,

kalau diturunkan adalah Y pangkatnya menjadi setengah kurangi-kurangi 1.

Dan seperti biasa juga, sebelum kita masuk ke persamaan ketiga,

ini persamaan ketiga tidak lain adalah fungsi kendala kita,

dan lihat perbedaannya, ya, biasanya fungsi kendala kita adalah fungsi anggaran,

sekarang fungsi kendalanya adalah utilitas.

Ya, maka Z lambda adalah semua ekspresi dalam kurung ini,

2 kurangi X pangkat setengah, Y pangkat setengah, sama dengan?

Dan selalu saat kita punya kasus optimisasi dengan kendala,

sebelum masuk ke persamaan terakhir di sini,

kita coba kombinasikan 2 persamaan awal kita.

Nah, caranya adalah, nah gimana bisa dapat seperti ini?

Kalau cara yang biasa saya lakukan, ya seperti tadi ya,

ini 2 persamaan ini tinggal kita bagi aja.

Ya, jadi kalau persamaan ini kita putus dari sini ya,

40-nya tetap min setengah dan sebagainya pindah ke sebelah kanan,

ini 10 tetap min setengah dan sebagainya pindah ke sebelah kanan.

Saat kedua persamaan itu kita bagi, maka kita akan dapatkan 40 pers 10, gitu kan?

Sama dengan min setengah lambda, gitu kan?

X pangkat min setengah, kali Y pangkat setengah.

Dibagi min setengah, X, maaf, lambda juga ya, lambda,

kemudian min setengah lambda, per min setengah lambda kita bisa hilangkan ini,

Y pangkat setengah dibagi Y pangkat min setengah,

itu Y pangkat setengah dikurangi min setengah, gitu ya,