Ledi Trialdi, S.E., M.P.P.

Video ini membahas contoh aplikasi optimasi dalam kasus multivariabel tanpa kendala kasus ekonomi. Pada kasus ini, terdapat fungsi objektif Z yang dipengaruhi oleh tiga variabel X1, X2, dan X3. Dengan mencari critical values melalui first order condition, diperoleh persamaan yang harus dipenuhi untuk mencari nilai X1, X2, dan X3 yang memaksimalkan atau meminimalkan nilai Z. Metode substitusi, eliminasi, atau Kramers Rule dapat digunakan untuk mendapatkan solusi. Hasilnya, nilai kritis X1, X2, dan X3 adalah 0, 0, 0, dengan nilai stasioner Z sebesar 2. Melalui determinan Hessian, ditentukan bahwa Z merupakan relatif minimum karena semua minor Hessian bernilai positif.

Oke, contoh aplikasi yang pertama, ini contoh aplikasi non-economy,

kita masih menggunakan fungsi seperti ini yang tanpa definisi apapun,

misalnya kita memiliki fungsi objektif Z dan Z ini dipengaruhi oleh 3 variable dalam kasus ini,

Oke, dan kemudian seperti di kasus optimisasi biasanya, kita berusaha mencari tahu critical values,

nilai-nilai kritis dari choice variable kita, X1, X2, dan X3 yang akan memaksimalkan atau meminimalkan nilai Z kita.

Oke, untuk itu kita cari, kita coba penuhi first order conditionnya.

Apa first order condition untuk kasus optimisasi dengan lebih dari 1 variable?

Kita harus cari di sini turunan parsial pertama ya, turunan parsial pertama dari fungsi objektif.

Jadi Z diturunkan secara parsial terhadap X1, diturunkan secara parsial terhadap X2,

diturunkan secara parsial terhadap X3, dan semuanya harus sama dengan 0.

Oke, dan ini mudah sekali kita cari turunan pertama ya, dari Z, turunan parsial pertama Z terhadap X1,

kita lihat X1 ada di sini, kemudian ada di sini, dan ada di sini.

Untuk terms pertama ini, suku pertama, turunan Z parsial terhadap X1 adalah 4X1,

kemudian dari sini kita dapatkan koefisien X1 adalah X2, dan terakhir koefisien X1 di sini adalah X3.

Maka kita dapatkan F1 seperti demikian, dan ini harus dipastikan sama dengan 0.

Oke, untuk turunan parsial pertama terhadap Z terhadap X2,

nah kita lihat sekarang X2 ada di sini, ada di sini, oke dan di situ cuma ada 2 tempat di sini ya,

dan turunan dari X1 X2 ini terhadap X2 adalah X1, kemudian turunan ini adalah 8X2, dan lagi-lagi sama dengan 0.

Dan terakhir kita cari turunan parsial terhadap X3 ya, X3 ada di sini, dan ada di sini.

Turunannya adalah X1 ditambah turunan dari sini adalah 2X3, dan semuanya sama dengan 0.

Oke, ini first order condition, kita dapatkan 3 persamaan,

dan ada 3 variable pilihan yang kita cari nilainya, yang memenuhi ketiga persamaan ini.

Dengan 3 persamaan dan 3 variable yang tidak diketahui nilainya,

kita bisa dapatkan X1, X2, dan X3 dengan menggunakan metode apakah itu substitusi, eliminasi,

atau mungkin juga menggunakan matrix gitu ya, Kramers Rule seperti yang kita sudah pernah pelajari.

Oke, saya tidak melakukan perhitungan di sini ya, jadi teman-teman tinggal exercise,

lakukan latihan di sini ya, bagaimana menemukan X1, X2, X3 yang memenuhi ketiga persamaan ini.

Apakah substitusi, eliminasi, atau menggunakan Kramers Rule.

Oke, ini saya langsung berikan hasilnya kepada teman-teman semua,

yang memenuhi ketiga persamaan ini adalah X1 nya sama dengan 0, X2 nya 0, X3 nya 0.

Buktinya gimana, tinggal lihat aja kalau 0 semua di sini, X1, X2, X3 sama dengan 0, hasilnya 0.

Ini adalah nilai kritis dari X, X1, X2, dan X3.

Dan kemudian kalau kita mau mencari nilai stasioner dari objektif kita yaitu Z,

tinggal masukkan nilai kritis ini ke dalam fungsi objektif.

Z nya adalah ini ya, fungsi objektifnya ini.

Oke, tinggal masukkan kalau X1, X2, X3 nya 0, 0, 0, 0, 0, 0, plus 2.

Jadi Z nya adalah, nilai Z stasioner, nilai stasioner ini adalah sama dengan 2.

Condition kita harus temukan matriks Hessian,

karena nantinya kita akan menentukan determinan Hessian pertama, kedua, dan ketiga untuk 3 variable pilihan.

Dan perhatikan di sini, determinan Hessian isinya adalah turunan parsial kedua.

Turunan parsial kedua dari fungsi objektif terhadap setiap choice variable.

Ini turunan parsial kedua terhadap X1, X2, X3.

F11 ini adalah turunan dari F1 terhadap X1.

F12 ini adalah turunan dari F1 terhadap X2.

Dan yang terakhir ini adalah turunan dari F1 terhadap X3.

Oke, dan yang lain-lain dengan mengikuti pola yang sama,

F31 ini maksudnya adalah turunan dari F3 terhadap X1 di sini.

Jadi kalau mau mencari do F1, do X1, kita harus masuk ke fungsi F1.

Kalau mau mencari tahu do F1, do X2, turunkan F1 terhadap X2 hasilnya adalah 1.

F13 itu adalah do F1, do X3, turunkan F1 terhadap X3 hasilnya adalah 1.

Maka kita bisa dapatkan di sini nilai-nilai dari elemen determinant hessian

Kemudian untuk turunan fungsi, turunan F3,

turunan F3 terhadap X1, X2, dan X3 kita dapat dari sini.

Ini 1, kemudian X2-nya nggak ada berarti 0.

Kemudian turunan F3 terhadap X3 adalah 2.

Setelah kita mendapatkan determinant hessian,

selanjutnya mudah sekali buat menentukan positif-negatif dari determinant hessian ini.

yaitu minor pertama dari hessian determinant yaitu nilai F11 ini.

Kemudian H2, determinant H2, minor kedua dari hessian,

Dan yang terakhir, H3 atau determinant dari keseluruhan hessian ini,

Nah ini kita dapatkan, silahkan teman-teman cari ya.

Mau pakai ekspansi atau pakai Sarus method.

Nah teman-teman bisa dapatkan bahwa determinant dari matrix hessian keseluruhan ini

Kita lihat disini seluruh minor hessian bernilai positif.

Kalau semuanya bernilai positif, artinya diferensial kedua dari fungsi objektif kita

Konsekuensinya adalah Z yang kita dapatkan disini,

nilai stasiun RZ yang kita dapatkan sama dengan 2 ini,

Ini kesimpulannya kita sudah aplikasikan first order condition,

second order condition untuk kasus optimisasi dengan lebih dari 1 variable.

Dalam hal ini kita berhadapan dengan 3 variable pilihan.