Ledi Trialdi, S.E., M.P.P.

Video ini membahas contoh soal optimal timing dalam Matematika Ekonomi dan Bisnis, khususnya terkait pertumbuhan dan elastisitas. Dalam kasus seorang tukang kayu yang ingin memaksimalkan nilai kayu yang ditanam, konsep nilai kayu sebagai fungsi waktu sangat penting. Melalui proses optimisasi, ditemukan bahwa waktu optimal untuk menabang kayu setelah 100 tahun, yang akan memaksimalkan nilai sekarang dari penjualan kayu. Penelitian terhadap second order condition juga memastikan bahwa strategi ini akan menghasilkan nilai present value penjualan kayu yang maksimal.

Oke, baik, kita lihat sekarang latihan, ya, latihan lagi, tapi dengan konteks yang mungkin lebih real di dalam ekonomi.

Ini kasusnya seperti demikian, mungkin teman-teman bisa baca, ya.

Ada, kita sekarang berhadapan dengan seorang tukang kayu, ya,

yang berusaha memaksimalkan nilai sekarang dari kayu yang dia tanam, gitu ya.

Oke, dan pertama kita lihat di sini, nilai kayu diketahui merupakan fungsi waktu.

Jadi, yang meningkat sebagai berikut, ini adalah fungsinya, ya.

Ini adalah nilai kayu kita, nilai kayunya berhubungan positif dengan waktu,

artinya semakin lama, apa namanya, semakin lama waktu untuk memelihara kayunya,

Oke, dan K ini adalah konstan yang mencerminkan sejumlah uang tertentu,

berapapun itu, ya, kita biarkan saja sama dengan K,

dan kita punya T sebagai waktu dalam satuan tahun,

dan berikutnya kita juga punya, ini ya, tingkat diskonto kontinu, tingkat bunga kontinu sebesar ini,

Oke, dan diasumsikan tidak ada biaya pemeliharaan selama periode pertumbuhan kayu,

jadi nggak ada biaya sama sekali saat membeli kayu,

maka kita tinggal coba pecahkan permasalahan optimisasi kita.

Oke, yang pertama adalah di sini, soal pertama kita perhatikan,

tujuannya di sini adalah untuk menjual kayu, ya kan, menjual kayu, ini tujuan utamanya ya,

pada nilai kini atau person value setinggi mungkin.

Ya, kalau kita bicara setinggi mungkin, maka kita, objektif function kita adalah,

objektif kita adalah memaksimalkan nilai, ya, memaksimalkan di sini.

Oke, sebelum kita cari tahu nilai optimalnya, ya, nilai critical value dari, nilai, apa namanya,

maka kita perhatikan di soal nomor satu ini, pertama kita nyatakan terlebih dahulu fungsi objektifnya, ya.

Fungsi objektifnya mencari nilai maksimum dari person value, ini adalah nilai future value, V, ya.

Jadi kalau untuk nomor satu ini, maka yang kita cari adalah nilai sekarang, ya.

Kita berusaha memaksimalkan nilai sekarang, maka objektif kita adalah nilai sekarang dari kayu, ya.

Kalau kita punya nilai masa depannya sebesar V, maka nilai sekarang bisa kita rumuskan sebagai A, di sini, ya.

Caranya bagaimana mendapatkan nilai A kita?

Tinggal kita kalikan, ya, nilai masa depan dari penjualan kayu tersebut, ya,

dengan discount factor, yaitu E pangkat min RT, seperti ini, ya.

Ini adalah nilai, apa namanya, fungsi objektif kita.

Dan kalau kita jabarkan secara spesifik, kita punya V-nya itu adalah K E pangkat 2 akar T, di sini, ya.

Kemudian ini adalah V kita, dikalikan dengan discount factor-nya adalah E pangkat min RT.

Karena 2 E ini, kita punya 2 E, perkalian E, di sini, dengan pangkat yang berbeda, maka kita bisa rumuskan juga seperti demikian, ya.

K E 2 akar T, kemudian kita jumlahkan langsung min RT, seperti ini.

Dan kita bisa lihat di sini, fungsi objektif kita hanya dipengaruhi oleh satu variable pilihan, atau choice variable, yaitu T.

Karena K sendiri adalah konstan, R juga konstan, dan bahkan sudah diketahui nilainya sebesar 0,1.

Dan kemudian menuju ke fungsi, apa namanya, proses optimisasi.

Kita diminta untuk menyatakan fungsi ini ke dalam bentuk natural logarithma, ya.

Maka kita tuliskan seperti ini, ini adalah lon A.

Kalau kita nyatakan ini dalam lon, maka sebelah kanan kita, supaya pesamanya tetap sama, harus dalam lon juga.

Dan saya langsung tuliskan seperti ini, ya.

Lon K, karena perkalian, kita jadi punya penyumlahan, penyumlahan lon di sini.

Oke, dan karena pangkat ini bisa pindah ke sini, mendahului lonnya, dan kita tahu lon E itu sama dengan 1,

maka kita dapatkan lon A ini akan sama dengan lon K ditambah 2 akar T, min R.

Dan saya tidak tuliskan lagi lon E-nya, karena lon E-nya sama dengan 1.

Jadi ini, ekspresi ini dikalikan dengan 1.

Kemudian pertanyaan yang kedua, berapakah waktu optimal T untuk menabang kayu?

Kalau kita mau mencari tahu waktu optimal atau critical value di sini, ya, dari nilai T kita,

kita, syaratnya kan selalu sama, ya, kita berusaha memenuhi first order condition,

ya, seperti ini, fungsi objektif diturunkan terhadap variable pilihan kita,

dan ini harus sama dengan, sama dengan non.

Ini adalah first order condition yang harus kita penuhi.

Oke, nah, dA per dt bisa diketemukan langsung dari sini,

tapi menggunakan lon juga kita bisa dapatkan, ya.

Nah, kita mulai dari sini, dlon A per dt itu adalah sama dengan dA per dt kali 1 per A, ya.

Dan dari persamaan ini, persamaan natural logarithm ini, kita bisa dapatkan dlon A per dt adalah,

dlon A, oke, diturunkan, dlon A ini diturunkan terhadap T, kita punya T di, hanya di sini, ya.

Oke, dan kita lihat di sini, T-nya muncul di sini dan juga muncul di sini.

Jadi kalau dlon A diturunkan terhadap T, untuk T yang pertama kita dapatkan 2 dikali setengah, gitu kan.

T pangkat setengah, 2 kali T pangkat setengah berarti setengah kali 2 itu 1,

kemudian T pangkat setengah min, setengah min 1, yaitu min, min setengah.

Oke, dikurangi ini ya, turunan terhadap T adalah min, min R, seperti ini.

Oke, dan ini, ya hasilnya seperti ini ya, dlon A DT hasilnya adalah T pangkat min setengah, min R.

Oke, dan yang kita cari adalah ini kan, DA per DT, harus sama dengan, harus sama dengan O.

Maka kita dapatkan ini adalah A, kalau kita pindah, ini pindah ke sebelah kanan,

jadinya A dikalikan T pangkat min setengah, min R.

Oke, saya tuliskan ulang ya, hasil kita yang nomor 2 tadi,

DA per DT itu sama dengan A, oke saya lupa ya,

Dan ini harus sama dengan 0 dalam first order condition.

Oke, dan karena A ini nilainya positif, maka satu-satunya cara supaya ini sama dengan 0,

maka kita lihat T pangkat min setengah, min R itu harus sama dengan 0.

Atau dengan kata lain, T pangkat min setengah itu sama dengan R.

Oke, dan untuk mendapatkan T yang optimal, artinya ini dipangkatkan min 2,

dan di sini juga harus dipangkatkan min 2.

R-nya diketahui adalah 0,1, jadi ini adalah 1 per 0,1 kuadrat,

Dan karena T itu satu-satunya dalam tahun, maka waktu optimal untuk menjual kayu,

itu setelah kayunya kita ditanam selama 100 tahun.