Ledi Trialdi, S.E., M.P.P.

Video ini membahas contoh soal optimisasi dengan kendala persamaan menggunakan fungsi Lagrange. Dengan fungsi objektif z = xy dan kendala x + y = 6, penyelesaiannya melibatkan substitusi dan perhitungan turunan parsial. Melalui perhitungan border hessian determinant, diperoleh bahwa nilai z = 9 merupakan nilai maksimum. Teknik ini dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan optimisasi dengan kendala dalam berbagai kasus.

Oke, untuk memudahkan teman-teman memahami pengaplikasian second order condition ini,

kita coba aplikasinya di sini, aplikasi secara umum,

misalnya sekarang kita punya fungsi z seperti ini,

fungsi objektif kita, fungsi objektif asal, z adalah sama dengan x kali y,

dan kemudian adalah kendalaannya dinyatakan seperti demikian,

x tambah y tambah dengan 4, ini menunjukkan bahwa nilai x itu terbatas,

kalau dari persamaan ini jelas x itu maksimum 6, itu terjadi saat y nya 0,

y nya juga maksimum 6, itu terjadi saat x nya 0.

Jadi nggak mungkin kita mendapatkan x lebih dari 6 atau y lebih dari 6,

Oke, dan kemudian bagaimana cara menyelesaikan permasalahan optimisasi dengan kendala ini?

Ya sebenarnya ini pakai substitusi biasa bisa gitu ya,

tapi sekarang kita coba menggunakan fungsi Lagrange,

dan ini Lagrange untuk membedakan dengan fungsi asalnya, ini z nya z besar ya.

Kita lihat komponen dari persamaan Lagrange ini,

diawali dengan meletakkan fungsi objektif,

objektif kita adalah z sama dengan xy, kita tulis xy di sini.

Dan kemudian kita tambahkan dengan lambda,

dimana di dalam kurung di sini, ekspresi dalam kurung,

ini adalah ekspresi berbeda ya, modifikasi dari fungsi kendala kita.

Jadi selalu dimulai dengan konstantanya yaitu 6,

kemudian dikurangi, jadi kalau ini pindah ke kanan semua kan jadi min x min y.

Oke, dan nggak ada sama dengan tentu saja di sini.

Tapi kalau ini terpenuhi, 6 kurang x kurang y,

ya kalau terpenuhi kan ini kan sama dengan 0 gitu ya,

Oke, kita lihat dengan fungsi Lagrange seperti ini,

bagaimana penyelesaiannya, kita masuk first order condition,

first order condition turunan parsial pertama dari fungsi Lagrange terhadap setiap choice variable,

Turunkan z terhadap x, sederhana ini ada x di sini, ada x di sini ya.

Untuk yang pertama koefisiennya adalah y, untuk yang kedua di sini x di sini,

Jangan lupa ya, koefisiennya bukan hanya min 1 tapi ini dikalikan dengan lambda,

Dan berikutnya untuk z, y juga sama, turunkan z secara parsial terhadap y,

koefisiennya adalah x di sini, kemudian ada y di sini,

koefisiennya adalah min lambda juga, sama dengan 0.

Dan terakhir, ini z lambda yang tidak lain adalah pemenuhan dari kendala persamaan yang kita miliki,

6 min x min y sama dengan 0, tidak lain adalah ini, x tambah y sama dengan 6.

Oke, berikutnya bagaimana cara kita mencari x, y dan lambda,

saran saya seperti tadi ya, kita selesaikan dulu,

coba mengeliminasi lambda dari 2 persamaan pertama.

Ini akan jadi y per x sama dengan lambda per lambda atau 1,

atau dengan kata lain y sama dengan, y akan sama dengan x.

Dari sini kemudian substitusi ke persamaan kendala, atau substitusi ke z lambda.

Hasil substitusinya adalah 6 kurangi x, karena y itu sama dengan x,

maka kita bisa gantikan y menjadi x seperti ini, ini sama dengan 0.

Maka 6 min 2x sama dengan 0, sehingga xnya adalah sama dengan 3.

Dan dari sini kita tahu y sama dengan x, maka y juga akan sama dengan 3.

Lambda, ya lambda tinggal kalau mau dicari silakan,

tapi kalau tidak diminta nggak usah dicari juga nggak apa-apa,

karena biasanya critical value yang kita cari adalah x dan y.

Di sini juga lambda kan sebenarnya koefisien yang ditambahkan, disematkan oleh Lagrange.

Kalau mau mencari lambda tinggal pakai persamaan pertama ini atau persamaan kedua ini.

Jadi kalau 3 kurangi lambda sama dengan 0, atau 3 kurangi lambda sama dengan 0 di persamaan kedua,

Dan berikutnya berapa z optimal, ya z optimal, z besar ini Lagrange,

kalau sudah memenuhi kendala, ini semua sudah terpenuhi,

maka ini akan sama dengan objektif function kita, yaitu z yang kecil.

Berapa nilainya, ya tinggal kita masukkan ke persamaan ini.

Kalau saat x nya 3, y nya 3, maka z nya adalah 9.

Ini x, y, z, critical value dan stationary value.

Dan pertanyaannya berikutnya adalah apakah z sama dengan 9 itu adalah z yang maksimum atau minimum.

Sekarang saya untuk membersihkan semuanya, lihat untuk second order condition.

Kita gunakan yang namanya border hessian determinant.

Kita tuliskan dulu formula border hessian determinant ini seperti apa.

Jadi ini kalau kita punya 2 choice variable,

maka border hessian determinantnya kita punya 3 x 3.

Dan baris dan kolom pertama itu adalah turunan dari kendala kita terhadap choice variable.

turunan parsial kedua dari persamaan Lagrange.

Terhadap 2 choice variable utama yaitu x dan y.

Zxx, zxy ini turunan zx terhadap x, turunan zx terhadap y.

Kalau mau mencari turunan zx terhadap x ataupun terhadap y,

Untuk mencari turunan zy terhadap x, zy terhadap y,

Jadi dari sini kita bisa lihat, kita bisa isi dengan mudah.

Gx dan gy adalah 1, turunan ini terhadap x adalah 1,

turunan kendala ini terhadap y juga sama dengan 1.

Kita lihat di sini, ini zx, turunkan terhadap x,

dan tidak ada x di sini, maka zxx sama dengan 0.

Zxy artinya zx ini diturunkan terhadap y, hasilnya adalah 1.

Zyx, zyx, zy diturunkan terhadap x, nilainya adalah 1.

Dan zy diturunkan terhadap y, di sini tidak ada y,

yang sekaligus juga border hessian determinant keseluruhan.

Kalau dua choice variable, maka H2nya adalah border hessian determinant secara keseluruhan.