Ledi Trialdi, S.E., M.P.P.

Video ini membahas identifikasi solusi unik dalam sistem persamaan dengan pendekatan matriks. Untuk menentukan solusi unik, penting untuk memenuhi necessary condition yang mengharuskan jumlah persamaan sama dengan jumlah variable endogen. Jika tidak terpenuhi, solusi unik tidak akan ditemukan. Selain itu, sufficient condition juga penting untuk memastikan solusi unik akan diperoleh, yaitu dengan memeriksa determinan dari matrix koefisien. Jika determinannya tidak sama dengan 0, solusi unik dapat diperoleh. Konsep ini penting dalam menentukan solusi unik dalam sistem persamaan.

Baik, teman-teman semua, setelah operasi matrix dan kita juga sudah bisa

mengkonversi sistem persamaan ke dalam sistem persamaan matrix

dan kemudian kita sudah berkenalan dengan inverse dan berikutnya mencari determinan gitu ya.

Kemudian berikutnya kita akan coba melakukan ini ya,

mengidentifikasi ada tidaknya solusi unik dalam sistem persamaan.

Tentu saja kalau kita diberikan sistem persamaan tertentu akan buang-buang waktu gitu ya,

kita sudah menggunakan metode macem-macem ternyata solusinya nggak ada atau solusinya tidak unik.

Dan matrix itu bisa jadi, bisa digunakan untuk mengidentifikasi ada tidaknya solusi unik dalam sistem persamaan.

Oke, dan kita tahu necessary condition atau kondisi perlu dari adanya solusi unik itu sederhana ya.

Jadi kalau kita punya 2 variable yang tidak diketahui minimal kita harus punya 2 persamaan gitu ya.

Jadi syarat utamanya dari apa namanya necessary conditionnya adalah ini jumlah persamaan

harus minimal sama dengan jumlah variable endogen ya, jumlah variable endogen yang kita cari.

Jadi kalau jumlah persamaannya kurang dari jumlah variablenya maka solusi unik pasti tidak kita dapatkan.

Jadi necessary condition ini kalau diistilahkan di matematika ini adalah kondisi sebagai penyaring gitu ya.

Jadi kalau necessary condition ini dipenuhi maka kalau kita mengontek solusi unik, solusi uniknya mungkin didapatkan, mungkin tidak.

Tapi kalau necessary condition ini tidak terpenuhi, ini tidak terpenuhi maka bisa dipastikan tidak ada solusi unik dalam sistem persamaan.

Jadi teman-teman bisa bayangkan kalau misalnya ini tidak terpenuhi ya, ada persamaan seperti ini.

Bisakah kita mencari tahu berapa Xnya, berapa Ynya?

Ada 2 variable yang tidak diketahui kita coba cari tahu tapi persamaannya cuma ada 1.

Solusinya ada tapi solusinya tidak terhingga.

Solusi yang tidak terhingga itu yang kita namakan sebagai solusi non-unik.

Kalau solusi unik harusnya kita akan dapatkan nilai X tertentu yang unik cuma 1 nilainya kemudian nilai Y juga cuma 1.

Dan kita juga mungkin punya persamaan yang lebih dari 3.

Kemudian yang berikutnya 3X plus Y sama dengan 2.

Ini kita punya 3 persamaan untuk mencari 2 variable.

Tapi kalau kita punya 3 persamaan untuk mencari 2 variable kemungkinan besar ada persamaan yang istilahnya itu adalah redundant.

Jadi seperti halnya disini kita bisa lihat X tambah 4Y sama dengan 3 kemudian ada persamaan yang kedua disini.

Ini persamaan yang kedua ini sebenarnya sama saja dengan persamaan pertama.

Tapi ini adalah persamaan pertama dikalikan dengan 2.

Jadi pada hakikatnya meskipun ada 3 persamaan, persamaan yang benar-benar berbeda itu cuma 2.

Jadi ini necessary condition harus dipenuhi.

Sekali lagi jumlah persamaan minimal harus sama dengan jumlah variable.

Dan kalau ternyata jumlah persamanya melebihi jumlah variable seperti kasus kita ini mungkin solusinya bisa dicari.

Mungkin juga solusi bisa dicari tapi terjadi redundancy tadi.

Mungkin juga solusinya nggak bisa dicari.

Jadi sekali lagi necessary condition ini syarat perlu namanya istilahnya.

Jadi kalau terpenuhi mungkin ada solusi unik, mungkin tidak.

Tapi kalau tidak terpenuhi maka dipastikan solusi unik tidak bisa ditemukan.

Jadi seperti contoh kasus tadi kalau cuma ada 1 persamaan nggak mungkin ada solusi unik untuk menemukan 2 variable endogen kita.

Nah berikutnya kemudian kita punya yang namanya sufficient condition atau syarat cukup.

Syarat cukup ini syarat yang memastikan kalau kondisinya terpenuhi maka solusi unik pasti akan kita dapatkan.

Apa sufficient condition untuk solusi unik sistem persamaan?

Nah kita sebelumnya sudah belajar mengenai matrix.

Di sinilah kita akan gunakan teorema matrix untuk menentukan sufficient condition.

Matrix yang kita perlu lihat adalah cukup ini.

Kalau ada sistem persamaan kita cukup fokus ke matrix koefisien yang kita punya.

Kemudian kita lihat matrix koefisiennya apakah persegi atau square atau non persegi.

Kalau persegi untuk memastikan bahwa solusi unik itu ada cukup kita mencari tahu determinan dari koefisien matrixnya.

Dengan matrix koefisien determinannya tidak sama dengan 0 maka kita akan mendapatkan matrix koefisien yang istilahkan sebagai matrix non singular.

Matrix non singular ini adalah matrix yang baris pertama, baris kedua misalnya.

Kalau ada dua baris itu dua-duanya linearly independent tidak berhubungan satu sama lain.

Misalnya kalau kita lihat kita kenapa concern dengan matrix koefisien.

Kemudian untuk mencari kondisi koefisien kemudian kenapa kita cukup kalau matrixnya persegi maka kita cukup cari determinan matrix sama dengan 0.

Tidak sama dengan 0 untuk mendapatkan kondisi koefisien solusi unik.

Kembali ke contoh yang di atas saya tuliskan ulang.

Kalau kita ini jabarkan ke dalam bentuk matrix maka kita akan mendapatkan ini variable endogennya X dan Y.

Kemudian koefisiennya adalah 1, 2, 2, 4 sama dengan konstanta, vektor konstanta 3 dan 3 dan 6.

Secara kasar mata kita lihat ini sebenarnya adalah matrix yang kedua ini atau matrix yang pertama.

Sorry baris yang persamaan yang pertama itu sebenarnya ini persamaan kedua.

Persamaan kedua dikalikan setengah gitu ya.

Atau kita bisa juga tuliskan ini adalah sebenarnya persamaan kedua ini adalah persamaan pertama dikali dua.

Persamaan pertama itu bisa dihasilkan dari persamaan kedua, persamaan kedua bisa dihasilkan dari persamaan pertama.

Atau dengan kata lain kedua persamaan itu pada hakikatnya sama.

Kita punya dua persamaan padahal hakikatnya kita cuma punya satu.

Dan kalau kita cuma punya satu persamaan kita sudah bisa ketahui kita enggak pasti enggak akan punya solusi unik.

Punya satu persamaan untuk mencari dua variable endogen.

Dan untuk mengetahui ada tidaknya hubungan antara persamaan pertama dengan persamaan kedua,

kita bisa cek saja yang namanya matrix coefficient ini.

Dari sini kita bisa dapatkan determinannya adalah determinan matrix A sama dengan 4 dikurangi 4 sama dengan 0.

Setiap matrix yang determinannya sama dengan 0 maka baris-baris atau kolom-kolom matrix tersebut pastinya saling berhubungan atau dependent.

Kalau saling berhubungan maka dikatakan bahwa matriksnya adalah matriks yang A ini adalah matriks dikatakan sebagai matriks singular.

Kalau matriksnya singular atau khusus punya kaitan khusus antar barisnya maka kita enggak akan dapatkan solusi unik seperti halnya di sini.

Ini determinannya sama dengan 0, ada hubungan antara persamaan 1 dengan persamaan kedua,

ada hubungan linier maka matriksnya kita bisa simpulkan matriks singular maka X dan Y enggak akan punya solusi unik.

Jadi kita tahu kenapa sih kita mesti mencari tahu determinan?

Dalam konteks pengidentifikasian solusi unik,

determinan ini penting untuk menentukan sebuah matriks koefisien yang persegi,

dia akan memberikan solusi unik ke dalam sistem persamaan atau tidak.

Dan kemudian kalau non persegi ini mungkin yang tidak akan kita saya bahas lebih lanjut.

Ini kalau secara matematik syaratnya adalah rang matriks sama dengan jumlah variable endogen.