Ledi Trialdi, S.E., M.P.P.

Video ini membahas interpretasi geometris turunan dalam konteks optimisasi tanpa kendala pada mata kuliah Matematika Ekonomi dan Bisnis. Turunan digunakan untuk melihat kemiringan kurva biaya produksi perusahaan terhadap jumlah output yang dihasilkan. Kemiringan garis antara dua titik di kurva biaya dapat dihitung menggunakan difference quotient. Turunan pertama dari fungsi biaya membantu dalam mencari titik maksimum atau minimum. Turunan kedua digunakan untuk menentukan apakah titik tersebut merupakan maksimum atau minimum. Proses optimisasi melibatkan identifikasi objektif, fungsi objektif, choice variable, nilai kritis, dan nilai stasioner untuk mencapai hasil maksimum atau minimum yang diinginkan.

Oke, dalam konteks optimisasi, tentu saja kita bicara turunan,

tidak hanya melihat arah positif-negatif,

nanti kita, tentunya perlu juga kita melihat ya interpretasi geometris dari turunan,

sehingga kita nanti bisa lihat apa sih pentingnya turunan saat kita melakukan optimisasi.

Nah, kita lihat kurva seperti ini, ya, ini adalah fungsi biaya, kurva biaya,

dan kita bisa lihat di sini vertikalnya adalah biaya produksi dari perusahaan,

kemudian di sumbu horizontal kita punya jumlah output yang dihasilkan oleh perusahaan.

Dan hubungan antara biaya produksi atau cost of production dengan quantity output yang dihasilkan perusahaan,

ini dinyatakan dalam, atau divisualisasikan dengan kurva biaya seperti ini.

Ya, kalau kita lihat di sini, kurva biaya ini memiliki kemiringan yang positif,

sekaligus memperlihatkan ada hubungan positif antara biaya dengan output.

Semakin tinggi output yang dihasilkan perusahaan,

semakin tinggi biaya produksi yang harus dikeluarkan oleh perusahaan.

Oke, sekarang kita lihat secara geometris, ya,

pertama saya ingin memperlihatkan kepada teman-teman ada 2 garis di sini,

ya, 2 garis yang berwarna biru dan hijau ini,

dan kedua garis ini menghubungkan 2 titik yang ada di dalam fungsi, kurva fungsi biaya kita, ya.

Nah, garis yang pertama, garis yang biru, ya, yang berwarna biru,

garis yang berwarna biru ini memiliki kemiringan yang dinyatakan dalam bentuk tangan seperti ini, ya.

Kalau teman-teman masih ingat, tangan itu adalah rasio dari garis yang ada di depan sudut

dan kemudian garis yang menjadi alas, gitu ya, alas dari kurvanya, oke.

Ya, kalau di ekonomi sebenarnya teman-teman nggak usah khawatir dengan sinus,

kosinus atau trigonometri yang lain, ya, sejauh-jauhnya trigonometri yang digunakan adalah tangan.

Tangan ini digunakan untuk mengukur kemiringan garis, gitu ya.

Nah, kalau kita punya garis yang menghubungkan A dan B seperti ini, garis biru ini,

maka kemiringannya bisa dinyatakan dalam bentuk tangan alfa atau tangan sudut dari garis biru ini, ya, terhadap dasarnya.

Oke, nah kalau kita lihat A dan B, ya, garis A, B ini,

dia memiliki, apa namanya, garis yang menghadap ke sudutnya sebesar, sebesar BE, ya,

kemudian dasarnya adalah sebesar AE, ya, maka tangan alfa kita bisa nyatakan sebagai selir rasio dari jarak B tadi, ya,

ke ini, ya, ini jarak BE dibagi jarak AE seperti ini, ya,

BE per AE itulah tangan alfa atau kemiringan, besarnya kemiringan garis yang menghubungkan titik A dan B pada kurva biaya.

Dan kalau kita lihat apa itu BE dan apa itu AE dari kurva biaya kita ini,

BE tidak lain adalah jarak ini, ya, C2 dikurangi C0 atau delta C, ya, selisih antara C2 dan C0.

Sementara AE, AE adalah ini, ya, jarak dari 0 ke C2 atau kita punya delta Q yang lain yaitu selisih dari C2 min C0.

Secara umum, maka BE per AE itu tidak lain adalah delta C per delta Q, oke?

Nah, kemudian kalau kita lihat garis yang kedua, garis yang berwarna hijau,

garis yang berwarna hijau ini menghubungkan sekarang titik A dengan titik D yang ada lagi-lagi, ya, di kurva fungsi biaya kita, oke?

Dan kita juga bisa mendapatkan kemiringan garis AD ini, ya, kemiringannya adalah DF di sini, ya, dibagi dengan AF.

Ini adalah tangan dari kemiringan sudut dari garis ini, ya, garis AD.

Dan kalau kita lihat DF tidak lain adalah jarak dari C0 ke C1, ya,

jadi DF ini tidak lain adalah C1 min C0, dan lagi-lagi selisih dari 2C itu kita bisa nyatakan sebagai delta C.

Dan AF juga sama, ya, kalau kita lihat ini adalah selisih dari 2Q, Q1 dan Q0, ya, dan selisih ini juga kita bisa nyatakan sebagai delta, ya, delta Q.

Oke? Jadi tangan beta atau tangan atau kemiringan garis hijau ini yang menghubungkan 2 titik yaitu A dan D pada fungsi biaya,

dan kemudian tangan alfa yang merupakan kemiringan dari garis AB, ya, lagi-lagi 2 titik yang ada di kurva fungsi biaya,

itu dinyatakan dalam formula yang sama kalau teman-teman bisa lihat di sini.

Delta C per delta Q di sini, di sini juga delta C per delta Q, ya, secara formula sama, ya,

tapi teman-teman bisa lihat di sini, meskipun sama, ya, C1 min C0 itu beda dengan C2 min C0, ya,

Jadi dengan kata lain, formulanya sama, tapi nilainya berbeda.

Jadi formula dari kemiringan garisnya sama, tapi besarnya kemiringan dari kedua garis tersebut berbeda.

Seperti yang kita lihat di sini, tentu saja kita bisa dengan mudah melihat bahwa kemiringan garis yang biru ini, garis AB,

ini lebih besar, lebih curang, ya, dibandingkan dengan kemiringan garis AD.

Oke, semoga bisa dipahami, ya, dan teman-teman mungkin familiar dengan ekspresi ini,

apa sih delta C per delta Q? Delta C per delta Q itu adalah difference quotient.

Ini juga difference, difference quotient.

Oke, nah sekarang kita belum masuk ke turunannya, ya.

Sekarang kalau kita mencoba melihat, ya, interpretasi geometris dari turunan.

Turunan itu, ya, kalau dirumuskan kan tadi, kalau ini kita punya delta C per delta Q sebagai difference quotient,

maka kalau kita mencari turunan C terhadap Q, maka turunan tersebut akan dinyatakan seperti ini.

Yang tidak lain adalah limit dari difference quotient ini, ya, saat delta Q-nya mendekati, mendekati 0.

Jadi kalau kita punya titik awal di titik A, kemudian Q-nya berubah,

tapi perubahannya sangat kecil sekali, mendekati 0,

jadi secara kasat mata mungkin kita nggak ngelihat, ya, bahwa dari titik A ini akan berubah Q-nya,

ya mungkin bergerak sih ini, tapi teman-teman mungkin nggak bisa ngelihat dengan jelas, ya.

Ada kenaikan, ada perubahan gitu, ya, tapi tidak kasat mata.

Kenapa tidak kasat mata? Karena delta Q-nya mendekati 0, ya.

Nah, saat C-nya berubah, mendekati 0, Q-nya juga akan berubah, ya.

Kita nggak tahu pasti berubahnya sebesar apa,

tapi perubahan pada C tersebut itu terjadi karena ada perubahan pada Q,

yang meskipun perubahannya sangat kecil sekali.

Dan DC per DQ ini kemudian, ini dijadikan sebagai, apa namanya,

aproksimasi atau taksiran, ya, taksiran kemiringan dari satu titik.

Jadi sebenarnya DC per DQ itu sama seperti tadi, ya, saat kita menghitung delta C per delta Q,

kita melihat, mencari tahu kemiringan garis yang menghubungkan dua titik di dalam kurva fungsi kita.

DC per DQ pada hakikatnya sebenarnya juga sama, menghubung apa namanya,

mencari kemiringan kurva, ya, atau garis yang menghubungkan dua titik di dalam fungsi biaya kita.

Cuma kemiringannya itu sangat berhimpit seperti ini, nggak kelihatan.

Seolah-olah cuma ada satu titik, padahal kita ngomongin dua titik.

Nah, karena jaraknya sangat sedikit sama sekali, sangat sedikit sekali,

maka dari itulah, gitu ya, DC per DQ ini dijadikan sebagai aproksimasi

buat, apa namanya, mencari kemiringan titik yang ada di dalam kurva fungsi kita.

Jadi kalau saya bilang tadi ada dua titik, ini dua titik di sini nih, satu, dua.

Kemudian saya hubungkan dua titik ini, jadinya seperti ini.

Jadi titik di sini, satu, titik lagi di sini, dihubungkan begini.

Kalau dihubungkan sebelumnya mungkin dihubungkan sampai sini doang ya,

kalau titik-titiknya doang yang dihubungkan.

Kalau titiknya dihubungkan kan nggak kelihatan, gitu ya.

Tapi karena yang kita hubungkan itu menghasilkan garis, garis itu kan bisa diperpanjang seperti ini, kan?

Tapi begitu garisnya kita perpanjang ke sebelah kiri, perpanjang ke sebelah kanan,

kita bisa melihat, oh ternyata ada garis di sini yang memiliki kemiringan tertentu.

Nah, karena garis ini menghubungkan dua titik yang saling berdekatan tadi,

maka kita bisa buat, kita bisa cari tahu juga seperti tadi ya,

Kemiringan garis tersebut rumusnya akan sama, delta C per delta K.

Tapi di sini perbedaannya adalah delta C per delta K yang kita telah A sekarang pada titik A,