Ledi Trialdi, S.E., M.P.P.

Video ini membahas konsep inverse matriks dalam analisis statik dengan pendekatan matriks. Inverse matriks digunakan untuk mencari solusi unik sistem persamaan dan membalik kondisi dari output ke input. Dalam konteks matriks, inverse matriks A dapat digunakan untuk mencari nilai asalnya dengan mengalikan A inverse dengan vektor konstan D. Property penting dari inverse matriks adalah hasil perkalian matriks dengan inverse-nya selalu menghasilkan matriks identitas. Hukum komutatif juga berlaku dalam perkalian matriks dengan inverse-nya, menghasilkan matriks identitas. Jadi, inverse matriks memainkan peran penting dalam analisis matematika ekonomi dan bisnis.

Baik, teman-teman, kita lanjutkan ke operasi yang paling penting tentu saja di dalam matrix,

karena nanti kita akan melihat bagaimana matrix digunakan untuk mengidentifikasi adanya solusi unik,

digunakan juga untuk mencari solusi sistem persamaan itu sendiri.

Oke, matrix inverse yang perlu teman-teman ketahui adalah ini pertama matrix inverse disimbolkan seperti ini.

Kalau kita punya matrix A, inverse-nya adalah matrix A, ini mungkin pangkat min 1,

dan yang perlu saya ingatkan kembali adalah ini tentu saja simbol ini beda dengan simbol ini.

Ini adalah inverse, ini adalah transpose, jangan sampai tertukar.

Oke, pada dasarnya yang namanya inverse itu kita mencoba membalikan kondisi,

misalnya kalau kita mungkin kenal dengan ini ya, sederhananya di aljabar dulu sebelum kita masuk ke matrix itu ya,

kalau kita punya Y sama dengan 4X, kita tahu ini adalah output-nya, dan kemudian X ini adalah input-nya.

4 kali X, 4 dikalikan X dengan apa namanya kita masukkan input-nya maka hasilnya adalah Y ini.

Oke, dan kemudian kalau kita mau inverse, kita mau balikan dari output ke input,

atau dengan kata lain kita mau mencari berapa sih asalnya, ini namanya kita melakukan inverse,

maka X ini kita bisa hitung dengan cara seperti ini, 4 pangkat min 1 dikalikan Y.

Nah, 4 in 4 min 1 ini adalah inverse, inverse dari 4 kalau di sini ya.

Nah, ini sesederhana ini dan dalam konteks matrix juga serupa,

nah sekarang kalau kita punya perkalian matrix seperti ini, ini adalah matrix,

kemudian oke saya tuliskan saja, ini adalah matrix ya,

kemudian ini adalah vektor atau matrix kolom, vektor kolom atau matrix yang terdiri dari 1 kolom,

ini vektor misalnya kita akan tinjau lagi berikutnya nanti, ini vektor variable endogen misalnya,

sama dengan D, D ini adalah vektor juga, vektor konstanta atau vektor konstan dan atau variable exogen.

Oke, A dikalikan X, X ini seperti halnya X di sini, ini adalah inputnya gitu ya,

begitu input ini dikalikan dengan matrix tertentu A, maka hasilnya adalah D.

Nah, kalau kemudian kita berusaha mencari tahu X-nya sendiri gimana?

Nah, seperti halnya contoh sederhana saya di awal, X ini kita bisa dapatkan dengan mengalikan A inverse,

A pangkat min 1 ya kalau di sini, dikalikan dengan D.

Oke, jadi ini adalah inverse, inverse matrix ya, jadi dengan inverse matrix ini kita bisa mengembalikan proses untuk menemukan asalnya.

Jadi kalau di sini asalnya itu adalah X, kemudian X dikalikan 4 menghasilkan output Y.

Untuk mengembalikan asalnya, mengembalikan ke X-nya saja, X itu dicari dengan melakukan inverse seperti ini.

Matrix juga sama, asalnya adalah X dikalikan dengan matrix A, maka kita dapatkan output D gitu ya.

Dan dari sini kalau kita mau mengembalikan ke asalnya, mencari X, maka kita lakukan inverse,

kita cari inverse dari matrix A, yaitu A, A inverse kali D.

Oke, semoga bisa difahami dan teman-teman juga bisa dengan mudah melihat di sini karakteristiknya,

kalau 1, di sini 4 dikalikan dengan inverse-nya itu akan sama dengan 1, 4 pangkat min 1 kan 1 per 4 ya.

Kemudian di sini juga sama kalau kita punya matrix, kemudian kita ketemu matrix inverse-nya,

maka bisa dipastikan perkalian matrix A dikalikan dengan inverse-nya itu akan sama dengan matrix,

nah kalau di matrix kita punya namanya matrix identitas.

Matrix identitas ini, matrix yang isinya adalah elemen diagonalnya terdiri dari angka 1 seperti ini,

ini kalau matrixnya 3 kali 3, sisanya adalah 0.

Dan apa yang unik dari matrix identitas ini adalah setiap matrix kalau dikalikan dengan matrix identitas,

maka akan sama dengan matrix itu sendiri.

Jadi kalau A dikalikan dengan I akan sama dengan A, I dikalikan dengan A itu akan sama dengan A juga.

Jadi mirip dengan angka 1 di dalam operasi matematik biasa.

Baik, ini mungkin saya hapus dulu penjelasan saya di sini.

Oke, ini rumus matrix inverse, untuk mencari matrix inverse kita harus mengetahui,

nah ini yang akan kita pelajari satu demi satu, ini adalah transpose dari matrix kovaktor.

Oke, dan kemudian atau disilahkan juga sebagai adjoin matrix A,

dan ini simbol ini menunjukkan determinan matrix A.

Oke, nah kita sejauh ini belum mengenal yang namanya kovaktor,

belum mengenal juga yang namanya determinan.

Jadi sampai di sini, saya cukupkan dulu ya untuk penjelasan mengenai inverse,

kita akan kembali mencari tahu perhitungan matrix inverse seperti apa,

setelah kita berhasil menyusun sistem persamaan matrixnya,

kemudian mencari cara untuk mencari determinan matrix dengan beberapa,

dengan dua cara, biasanya kita gunakan Sarus dan Laplace expansion method.

Oke, dan ini beberapa property matrix inverse, sebelumnya ini syaratnya,

kita bisa menemukan inverse dari matrix tertentu kalau matrix tersebut persegi.

Tapi matrix persegi itu tidak menjamin bahwa inverse matrixnya ada.

Nanti kita akan bahas bagaimana kita memenuhi syarat ini.

Ini property matrix inverse yang mungkin teman-teman bisa pelajari,

bisa coba-coba, bisa hafalkan juga, dan property utamanya adalah ini ya.

Ini yang membuat matrix inverse itu unik,

karena perkali matrix inverse dengan matrix asalnya itu akan selalu menghasilkan matrix identitas.

Untuk ini teman-teman bisa hafalkan aja ya,

karena saya nggak bakal menurunkan kenapa seperti ini.

Jadi kalau satu matrix di-inverse kan, kemudian di-inverse kan lagi,

Ini hasil kali matrix kalau di-inverse kan,

akan sama dengan perkalian inverse matrix dari kedua matrix B dan A ini,

tapi dengan posisi ini, jangan sampai tertukar,

Khusus untuk matrix inverse juga saya perlu garis bawahi,

Jadi hukum komutatif ini berlaku dalam perkalian matrix asal dengan matrix inversenya.

Jadi perkalian ini bisa dinyatakan juga seperti ini.

Hasilnya akan sama, yaitu menghasilkan matrix identitas.

Baik, itu yang bisa saya sampaikan terkait dengan matrix inverse.

Berikutnya kita akan coba mendiskusikan bagaimana kita menyusun sistem persamaan matrix.