Ledi Trialdi, S.E., M.P.P.

Video ini membahas metode Lagrange Multiplier pada First-Order Condition dalam Matematika Ekonomi dan Bisnis. Lagrange Multiplier digunakan untuk mengakomodir fungsi kendala ke dalam fungsi objektif, memungkinkan optimisasi tanpa kendala dengan choice variable X1, X2, dan lambda. Dengan mencari turunan parsial pertama dari fungsi objektif terhadap choice variable, termasuk lambda, yang harus sama dengan 0. Lambda memiliki interpretasi sebagai sensitivitas maksimum utilitas terhadap constraint. Untuk multi-constraint case, Lagrange persamaannya akan memperhitungkan lebih dari satu kendala, yang kemudian memerlukan pengecekan second order condition.

dan kemudian kita lihat di sini cara lain untuk memenuhi first order condition.

Yang menemukan first order condition ini adalah lagran,

semaka nama dari metode ini adalah metode lagrangian multiplier.

Jadi kembali lagi ke sini, kita punya fungsi objektif yang sama dengan sebelumnya

Sekali lagi saya sampaikan, ini dinamakan kendala karena membatasi,

ini akan membatasi nilai kritis dari choice variable.

Jadi yang namanya kendala itu akan membatasi nilai choice variablenya,

Oke, nah sekarang kita lihat ini adalah fungsi lagran.

Oke, apa yang bisa teman-teman lihat di sini?

Z ini adalah fungsi lagran, dan kemudian lihat elemennya,

elemen yang pertama adalah ini, yang tidak lain adalah fungsi objektif.

Nah ini fungsi objektifnya diletakkan, tidak ada perbedaan di dalam fungsi lagran,

nah tapi kemudian kita dapatkan ekspresi yang agak berbeda di sini,

dinyatakan seperti ini, 60 kurangi 4X1 kurangi 2X2,

sebuah koefisien yang melekat pada ekspresi kendala di dalam fungsi lagran sini.

Nah apa yang bisa teman-teman lihat di sini?

Sebenarnya pada dasarnya di sini adalah lagran berusaha mengakomodir fungsi kendala ke dalam fungsi objektif.

Coba teman-teman lihat di sini, kalau fungsi kendala ini terpenuhi,

ini kendalanya ya, 4X1 itu tambah 2X2 akan sampai dengan 60,

atau dengan kata lain apa, kalau dinyatakan seperti ini,

kalau fungsi kendala ini terpenuhi, artinya 60 min 4X1 min 2X2 sama dengan berapa?

pada dasarnya persamaan lagran sini sama dengan persamaan objektif kita.

tapi dengan menambahkan mengakomodir fungsi kendala di dalamnya,

di mana kalau fungsi kendala itu terpenuhi,

maka fungsi objektif yang awal tadi akan sama saja dengan fungsi lagran ini.

Jadi ini adalah bisa dikatakan sebagai trik lagran untuk memaksimalkan utilitas

Makanya kemudian kita lihat di dalam fungsi lagran ini,

setelah kita rumuskan persamaan lagran seperti demikian,

kalau kita berusaha memaksimalkan atau meminimalkan Z,

kita berhadapan dengan fungsi objektif yang terdiri dari 3 choice variable.

Jadi seolah-olah ini sudah tidak ada kendala lagi,

karena kendalanya sudah diakomodir dalam persamaan lagran.

tapi sekarang begitu diakomodir kendalanya,

Ini lambda itu menjadi salah satu choice variable,

dan di dalam ekonomi lambda ini juga punya interpretasi,

Oke, nah sekarang kita lihat first order kondisinya gimana.

Jadi karena sudah diakomodir versi kendalanya ke dalam persamaan lagran,

jadi seolah-olah kita sekarang punya kasus optimisasi,

berusaha memaksimalkan atau meminimalkan Z,

dengan choice variable X1, X2 dan lambda.

Jadi seolah-olah kita punya optimisasi tanpa kendala dengan lebih dari satu variable.

Seperti biasa, turunan parsial pertama dari fungsi objektif,

Baka kita cari turunan Z terhadap choice variable yang pertama X1,

Yang mana saat kita turunkan Z terhadap lambda,

maka ini tidak lain mewakili fungsi kendala kita.

maka kalau ini terpenuhi, artinya kendalanya juga terpenuhi.

Gitu ya, dan selanjutnya bukan perkara sulit,

kita akan punya 3 persamaan untuk mendapatkan 3 choice variable,

meskipun fokus poinnya biasanya di X1 dan X2 ya.

Oke, dan kita lihat biasanya untuk menyelesaikan 3 persamaan ini,

kita mulai dari 2 persamaan yang pertama,

Oke, jadi kalau kita lihat dari fungsi kita,

dan kita lihat ini artinya Z diturunkan secara pasial terhadap X1,

dan jangan lupa juga, eh sorry, saya salah ini ya,

ini fungsi kendalanya di fungsi lagran, kita lihatnya,

Z turunkan X1, kemudian X1 juga ada disini,

Oke, maka kalau kita turunkan Z terhadap X1 secara pasial,

dari sini kita dapatkan turunan pertama X2,

kemudian dari sini koeficien dari X1 adalah 2,

tapi karena ini dalam kurung ya, dikalikan dengan lambda,

koeficien dari X1 adalah min 4, min 4 lambda.