Ledi Trialdi, S.E., M.P.P.

Video ini membahas konsep second order condition dalam matematika ekonomi dan bisnis untuk menentukan apakah titik stasioner merupakan maksimum atau minimum. Dengan mencari turunan kedua dari fungsi objektif terhadap choice variable, kita dapat menentukan sifat titik stasioner. Turunan kedua positif menandakan titik minimum, sementara turunan kedua negatif menandakan titik maksimum. Jika turunan kedua sama dengan 0, diperlukan pengujian lanjutan menggunakan Nth derivative test. Second order condition memastikan apakah titik stasioner yang ditemukan merupakan maksimum atau minimum dari objektif yang diinginkan.

Oke, teman-teman, setelah kita menemukan titik stasioner menggunakan first order condition,

ya, menurunkan fungsi objektif terhadap choice variable-nya,

nah, kemudian tentu saja kita perlu memastikan juga ya bahwa titik stasioner yang kita dapatkan itu adalah titik maksimum atau titik minimum.

Oke, jadi kalau kita dapatkan X0, Y0 itu 2,2, X0-nya 2, Y0-nya 2,

kita dapatkan titik stasioner, tapi kita tidak tahu nih ya, titik stasioner ini apakah dia adalah titik yang maksimum atau titik minimum,

karena kalau kita lihat kurva sebelumnya saat kita bicara interpretasi geometris dari turunan,

saat turunan sama dengan 0 itu bisa saja dia titiknya adalah maksimum, bisa juga titiknya minimum, ya.

Dan kita masuk sekarang di sini, untuk menentukan maksimum minimum sebuah titik stasioner,

maka kita harus melakukan pengecekan, ya, dengan menggunakan yang namanya second order condition.

Nah, second order condition yang sederhana adalah dengan mencari tahu turunan kedua dari fungsi objektif kita, ya.

Turunan fungsi objektif kedua itu adalah kita menurunkan fungsi objektif, turunan fungsi objektif kita terhadap choice variable sekali lagi gitu ya.

Jadi kalau first order cuma menurunkan fungsi objektif terhadap choice variable,

turunan kedua menurunkan turunan pertama dari fungsi objektif kita terhadap choice variable yang sama, ya.

Dan nanti kita akan lihat syarat untuk mendapatkan titik yang minimum itu turunan keduanya harus lebih besar dari 0,

sementara untuk mendapatkan titik yang maksimum, ini akan terpenuhi kalau turunan kedua fungsi objektifnya lebih kecil dari 0, oke.

Nah, kita lihat di sini, saat kita bicara turunan pertama secara geometris, ya,

turunan pertama itu pada dasarnya memperlihatkan kecenderungan nilai Y, nilai objektif kita, ya,

saat choice variable-nya X-nya, X-nya naik, ya.

Jadi kalau turunan pertamanya positif, Y-nya naik saat X-nya naik.

Kalau turunan kepertamanya adalah negatif, maka Y-nya turun saat X-nya mengalami kenaikan.

Dengan logika yang sama, ya, jadi kalau turunan pertama, lihat hubungan X dengan Y,

maka teman-teman bisa tebak kalau turunan kedua, nah, memperlihatkan kecenderungan apa?

Kecenderungan nilai turunan pertama saat X-nya berubah, ya.

Jadi kalau turunan keduanya positif, artinya apa?

Saat X-nya naik, maka turunan pertamanya, kecenderungannya akan naik, ya.

Kalau X-nya, kalau turunan keduanya adalah negatif,

maka kecenderungan nilai turunan kita itu adalah, apa namanya, negatif, ya, hubungannya dengan kenaikan X.

Dan kita tahu saat kita bicara geometris, ya, intermetrasi geometris turunan,

turunan ini kan memperlihatkan kemiringan, gitu kan, turunan pertama.

Jadi kalau turunan kedua, itu akan memperlihatkan kecenderungan, kemiringan dari kurva fungsi kita, ya.

Jadi kalau turunan keduanya positif, semakin tinggi X,

maka turunan pertama atau kemiringan kurvanya akan semakin besar, semakin tinggi, gitu ya.

Sebaliknya, kalau turunan keduanya negatif,

itu menunjukkan bahwa kenaikan X akan menyebabkan penurunan kemiringan kurva, oke.

Nah, kalau teman-teman lihat di sini, ini ada 2 kurva,

jelas terlihat ini kurva yang memiliki titik maksimum, ini adalah kurva yang memiliki titik minimum, oke.

Dan turunan di sini positif, menunjukkan apa?

Menunjukkan kurva yang pada segmen ini, dia memiliki kemiringan yang positif,

atau ada hubungan positif antara X dengan Y.

Di sini, kemiringannya negatif, hubungan X dengan Y negatif, X-nya naik, Y-nya turun di sini, ya.

Oke, dan ini adalah titik A kemiringannya, B titik kemiringannya seperti ini, garis lingkungnya, ya.

E ini adalah saat turunannya sama dengan 0,

kemudian kita dapatkan kemiringan di titik C dan kemiringan di titik D.

Kemiringannya di sini positif, masih positif, tapi kemiringannya makin kecil, ya kan?

Karena kurvanya makin flat, makin mendatar.

Kemudian dari B ke E, ini positif, positif, positif makin kecil, di E kemiringannya 0.

Jadi dari B ke E juga kemiringannya makin kecil.

Dari 0 ke sini, ini kemiringannya negatif, udah jelas dari 0 ke negatif itu, kemiringannya juga makin kecil.

Nah, kemudian dari titik C ke D, meskipun di sini lebih curam,

tapi kalau kita lihat nilainya dari nilai negatif,

nilai negatif yang makin besar itu menunjukkan nilai yang lebih kecil, gitu kan?

Jadi, di sini kemiringannya lebih tinggi secara absolut, nilai di sini, misalnya taruhlah di sini adalah

Nah, tapi kalau kita ukur nilainya, min 4 itu kan lebih kecil daripada min 2, gitu ya?

Jadi kalau kita punya kurva yang strictly, istilahnya strictly concave seperti ini,

maka kita bisa lihat di sini, turunan keduanya ini negatif.

Kenapa kita bisa tahu turunan keduanya negatif?

Karena dengan semakin besarnya X, turunan dari kurva fungsi ini makin lama, makin kecil.

Naiknya X menyebabkan kemiringan kurva makin rendah.

Hubungan negatif antara X dengan kemiringan kurva.

Dan ini, dari kurva ini kita bisa lihat, ya, kalau turunan keduanya negatif,

kalau ada hubungan negatif antara X dengan turunan pertama atau kemiringan kurva,

maka bisa dipastikan bahwa titik stasioner yang kita dapatkan pastilah adalah titik maksimum.

Sementara sebaliknya, kalau kita lihat di sini, ini negatif,

tapi negatifnya makin di sini makin besar, makin, apa namanya,

secara nilai negatif ini makin besar di sini ya?

Kalau di sini min 4, di sini mungkin min 2, 0, 2, 4,

kita bisa lihat di sini turunannya makin lama,

turunannya atau kemiringan dari kurva ini makin lama, makin besar.

Turunan pertamanya makin besar saat X-nya naik, itu artinya turunan keduanya positif.

Dan kita bisa lihat kalau turunan keduanya positif atau hubungan ini berlaku,

maka titik stasioner yang kita dapatkan pastilah adalah titik relatif minimum.

Jadi second order condition, ini memastikan bahwa titik stasioner yang kita dapatkan,

nilainya, dia merupakan titik maksimum atau titik minimum.

Ya? Jadi dengan fungsi objektif seperti ini, X kuadra, pin 4, X plus 6,

kita sudah dapatkan dari first order condition, turunan pertama fungsi, fungsi objektif, ya?

Sambil dengan 0, kita dapatkan nilai kritis X atau X0 sambil dengan 2,

nilai stasionernya adalah Y0 sambil dengan 2.

Oke? Nah second order conditionnya gimana?

Sederhana saja, tinggal cari turunan keduanya, ini adalah turunan pertama dari fungsi objektif kita.

Turunan keduanya adalah tinggal turunkan turunan pertama ini terhadap choice variable yang sama, yaitu X.

Turunan fungsi ini terhadap X jelas mudah dicari, ya?

Oke? Maka bisa dipastikan karena turunan keduanya positif,

maka kondisi cukup sudah terpenuhi untuk sebuah fungsi yang memiliki titik stasioner minimum.

Jadi kita bisa simulkan titik ini, 2,2, ini adalah titik stasioner relatif minimum.

Atau nilai Y sambil dengan 2 ini, ini adalah nilai Y yang minimum.

Oke? Jadi first order condition mencari tahu titik stasioner nilai maksimum atau minimum dari objektif kita.

Sementara second order condition bisa memberikan kepada kita kesimpulan apakah nilai yang kita dapatkan dari memenuhi first order condition tersebut nilai maksimum atau nilai minimum.

Sarat cukup dari second order condition untuk mendapatkan titik yang minimum, maka sarat cukupnya adalah ini, turunan kedua harus positif.

Jadi kalau turunan kedua positif, pasti titik stasionernya minimum.