Ledi Trialdi, S.E., M.P.P.

Video ini membahas solusi inverse matriks 3x3 aturan Cramer dalam analisis statik dengan pendekatan matriks. Pendekatan ini memodifikasi inverse matriks dengan menghitung matrix transpose kofaktor dengan matrix konstan, menghasilkan ekspresi determinan A1, A2, dan A3. Aturan Kramer digunakan untuk mencari solusi unik dengan mengalikan determinan matriks coefficient dengan determinan A1 dan A2. Langkah-langkah mencari determinan A1 dan A2 dijelaskan secara detail, menghasilkan solusi X1 dan X2 sebagai 5 dan 10.

Baik, setelah kita mencari solusu matrix dengan menggunakan metode inverse matrix,

mungkin teman-teman kalau ngelihat rumus ini ada perhitungan yang mungkin kurang menyenangkan ya,

karena mencari apa namanya adjoin atau transpose matrix of vector ini,

ini relatif sulit terutama apalagi kalau matrix coeffisienya lebih dari 2 x 2 gitu ya,

Maka dari itu, maka kita coba lihat pendekatan kedua untuk mencari solusu matrix,

dan pendekatan kedua ini sebenarnya dasarnya dari sama ya, dari inverse matrix,

tapi kita coba lihat inverse matrix ini bisa kita modifikasi seperti ini ya,

kita bisa lihat kalau misalnya kita punya 3 variable endogen,

X-nya ada 3, X1, X2, X3, dan kemudian kita rumuskan, kita jabarkan rumus ini ke sini ya,

jadi satu perdeterminan tetap, nah ini matrix coeffisienya kita tuliskan seperti ini ya,

dengan elemen yang apa namanya, ini matrix coeffisienya yang sudah kita transpose ya,

kita bisa lihat ini tadinya di matrix coeffisienya adalah baris pertama,

saat ditranspose kan ini menjadi kolom pertama ya,

ini juga tadinya baris kedua di matrix kofaktor,

kita transpose kan ini menjadi kolom kedua dan seterusnya ya,

karena kita formulanya mencari matrix kofaktor dari matrix coeffisienya kita.

Oke, dan kemudian kita memiliki matrix atau vektor konstan D1, D2, dan D3,

dan kalau kita coba lakukan perhitungan di sini, nah hasilnya akan demikian ya,

ini kita tahu adalah matrix transpose kofaktornya adalah matrix 3x3,

ini 3x3 dimensinya, dan ini dimensinya adalah 3x1,

dan kita bisa pastikan hasil perkaliannya akan memiliki dimensi 3x1,

dan cara menghitungnya seperti demikian ya, D1 x C11 tambah ini ya mungkin ini ya,

ini baris pertama kita, elemen pertama kita ya di baris pertama.

Elemen keduanya adalah kita kalikan sekarang C12 dengan D1 ya ini,

kemudian C22 dengan D2 ini, dan C32 dengan kalikan dengan D3 ini.

Oke, jadi kita dapatkan hasil kali matrix transpose kofaktor

dengan matrix konstan D hasilnya seperti demikian.

Oke, semoga masih bisa diikuti oleh teman-teman semua,

dan berikutnya kita lihat ini ekspresi lain ya dari X1, X2, X3.

Jadi ekspresi elemen-elemen ini kita gantikan dengan menggunakan sigma seperti ini,

sigma Di Ci1, di mana i-nya itu dari 1 sampai 3.

Ya kalau dibuka sigmanya ini akan menjadi saat i-nya sama dengan 1 maka kita punya D1 C11,

saat i-nya sama dengan 2 kita punya plus D2 C21,

saat i-nya sama dengan 3 kita punya D3 C31.

Oke, ini cuma ekspresi lain dari ekspresi penjumlahan di dalam matrix ini.

Oke, dan kemudian kita nyatakan ini sebagai determinan A1,

ini sebagai determinan A2, dan ini adalah sebagai determinan A3.

Oke, mungkin masih sulit buat dicatat oleh teman-teman semua,

tapi kita lanjutkan, kita lihat di sini A11 ini apa, eh sorry A1 ini apa?

A1 tidak lain adalah ini ya, Di Ci1 atau ini, ini A1.

jadi kalau mungkin teman-teman masih ingat ini seperti rumus apa,

ini rumus determinan sebenarnya, rumus determinan dengan menggunakan,

melakukan ekspansi pada kolom pertama, ya.

Jadi ekspansi kolom pertama adalah seperti ini.

Oke, jadi kalau kita lakukan perhitungan maka A1 ini pada dasarnya adalah

Nah kalau kita lihat dengan matrix seperti ini,

determinannya dengan menggunakan ekspansi pada kolom pertama,

hasilnya adalah lihat, bedeterminan ini hasilnya adalah D1,

elemen atau rumus asalnya mungkin kalau kolom pertama kan seperti ini ya,

A11, C11 ditambah A, ingat kolom pertama ya,

Ini ekspansi pada kolom pertama, jadi lihat ini ya, kolomnya sama semua nih, kolom-kolom 1.

Oke, dan A11 adalah D1, A21 itu adalah D2, A31 adalah D3.

ya kalau kita gantikan kolom pertamanya dengan D1, D2, dan D3.

Nah kemudian A2, A2 ini adalah kita ganti sekarang kolom keduanya dengan D1, D2, dan D3.

Ini akan mewakili sigma ini ya, atau mewakili perhitungan tersebut.

Oke, A2 kita langsung lanjutkan saja, ini kemudian A3, jadi pada dasarnya A1, A2, A3 kita menggantikan elemen kolom ya,

kalau A1 menggantikan elemen kolom dengan elemen matriks konstanta yang pertama,

elemen matriks konstanta, kemudian untuk A2 kita gantikan kolom kedua matriks dengan menggunakan,

dengan apa namanya, dengan elemen konstanta, matriks konstanta.

Jadi lihat matriks konstanta masuk di kolom pertama di sini, masuk kolom kedua, ini masuk kolom ketiga.

Secara umum kita akhirnya bisa menghasilkan ini ya, rumus aturan Kramer seperti demikian.

Nah mudah-mudahan teman-teman masih ingat ya A1 apa, A2 apa, A3 apa.

Nah untuk lebih mudahnya, kalau melihat ini mungkin rumit, kita langsung coba aturan Kramer dengan kasus yang kita miliki sebelumnya.

Kalau kita punya sistem persamaan yang sudah kita konversi ke dalam matriks seperti demikian,

kemudian seperti biasa penyelesaiannya setelah kita punya sistem persamaan matriks,

langkah kedua adalah deteksi apakah ada solusi unik atau tidak,

lagi-lagi kita mencari determinan matriks coefficient, pastikan ini tidak sama dengan 0,

jadi kalau di sini kita punya 4 kurangi 6, ini sama dengan min 2, ini tidak sama dengan 0, berarti solusi unik ada.

Nah kemudian yang ketiga, kalau sebelumnya kita menggunakan cara inverse matrix, sekarang kita gunakan aturan Kramer.

Dalam aturan Kramer ini, X yang kita cari atau X1 dan X2, ini kita bisa dapatkan dengan mengalikan 1 per determinan matriks coefficient,

dikalikan dengan A1, determinan A1 dan determinan A2.

Nah seperti ini, sekarang A nya sudah kita ketahui tapi determinan A1 nya belum,

determinan A2 nya belum, nah kita coba cari tahu, bagaimana mencari tahu determinan A1?

Determinan A1 itu adalah determinan matriks A yang kolom pertamanya kita ganti dengan elemen matriks atau vektor konstanta.

Kita ganti ini dengan ini ya, elemen vektor konstanta.

Oke, kemudian kolom keduanya kita biarkan tetap sama seperti ini.

Dan berikutnya kalau untuk kita mengetahui, mencari tahu determinan matriks A2, sekarang yang kita ganti adalah kolom kedua.

Kolom keduanya kita gantikan dengan elemen vektor konstanta yaitu 25, 55.

Oke, ini kita bisa hitung bersama, ini adalah 100 dikurangi 110 sama dengan minus 10,

ini adalah 55 kurangi 75, ini sama dengan minus 20.

Begitu A1, A2 sudah kita ketahui, maka kita bisa hitung di sini,

ini adalah 1 per min 2, determinannya adalah min 2 di sini,

kemudian kita punya sekarang A1 nya adalah min 10, A2 nya adalah min 20.

Oke, jadi kita bisa dapatkan hasil akhirnya adalah,

tentu saja harusnya sama dengan hasil akhir kalau kita menggunakan matriks inverse.

Ya, X1, X2 nya akan sama dengan min setengah kali min 10,

ini adalah 5, kemudian min setengah kali min 20, ini adalah 10.

Atau dengan kata lain, X1 nya sama dengan 5, X2 nya sama dengan 10.