Name: PDB Orde Tinggi: Akar-akar Riil dan Berbeda
Uploaded: 2023-07-16

Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas klasifikasi solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) orde tinggi dengan akar-akar riil dan berbeda. Solusi umum PDB orde tinggi dengan akar-akar riil dan berbeda dapat dituliskan sebagai penjumlahan dari eksponensial dengan koefisien yang berbeda. Melalui contoh PDB orde 3, penjelasan diberikan tentang cara mendapatkan solusi umum dengan mereduksi persamaan ke polinom orde 2. Trik yang digunakan adalah dengan memeriksa apakah nilai tertentu merupakan akar, sehingga polinom dapat direduksi. Dengan metode ini, solusi umum PDB orde 3 dapat diturunkan dengan akar-akar yang riil dan berbeda: C1e^x + C2e^2x + C3e^-x.

Di pembahasan lalu kita sudah mengklasifikasi jenis-jenis solusi dari PDB order tinggi linier,

homogen dan coeffisien constant berdasarkan karakteristik dari akar-akar lambdanya.

Ada tiga klasifikasi dan ketiganya ini menentukan jenis solusinya.

Saya akan membahas pada kesempatan kali ini klasifikasi yang pertama yaitu akar-akar yang real dan berbeda.

Dengan kata lain kalau lambda ini merupakan pangkat dari eksponen atau argumen dari eksponennya

dari eksponen ansatz persamaan diferensialnya maka ketika kita masukkan ke dalam persamaan diferensialnya

Akar-akar dari persamaan polinom order n tersebut adalah n buah lambda

dan di sini masing-masingnya berbeda dengan yang lain.

Jadi lambda di sini berbeda dengan n minus satu buah lambda yang lain.

Di sini maksud dari berbeda atau distinct dan real.

Real artinya dia tidak imajiner, tidak kompleks.

Kalau seperti ini maka solusinya itu persis sama seperti solusi yang kita punya untuk kasus PDB order 2

linier, homogen dengan coeffisien constant dimana dua akar-akarnya itu real dan berbeda.

Jadi ingat kembali kalau di PDB order 2 kita punya solusi umumnya ada dua

maka di sini kita punya solusi umumnya ada n.

Dan tentunya untuk mendapatkan solusi yang unik, yang partikular, yang unik

maka PDB order n ini harus dilengkapi dengan n buah syarat awal atau syarat batas.

Saya tuliskan saja di sini solusi umumnya langsung.

Kita akan lihat dengan contoh bagaimana penggunaannya.

Bahwa solusi umumnya itu dapat ditulis sebagai berikut

C1e-lambda1x ditambah C2e-lambda2x plus titik-titik-titik sampai Cn e-lambda nx.

Inilah solusi umum dari PDB order tinggi jika akar-akarnya real dan berbeda.

Mari kita ambil contoh satu PDB, dalam hal ini saya akan mengambil contoh spesifik order 3.

Bagaimana kita bisa dapat solusi umum seperti ini.

Misalnya saya punya persamaan differential sebagai berikut.

Triple dot, minus 2y double dot, minus y triple accent, minus 2y double accent, minus y accent, plus 2y.

Ini problem yang akan kita tunjukkan jauh.

Kita ambil ansat y-nya adalah suatu konsanta, dikalikan dengan e-lambda x.

Kalau kita masukkan ini ke dalam, kita akan dapatkan koefisien A-nya bisa kita cancel, jadi tidak masuk.

Di sini hanyalah lambda pangkat 3 minus 2 lambda kuadrat minus lambda plus 2 sama dengan 0.

Di sini untuk PDB order 3 saya punya persamaan polinom pangkat 3.

Tentunya mencari akar-akar persamaan polinom pangkat 3 ini tidak semudah mencari akar-akar persamaan kuadrat.

Untuk menyederhanakan polinom pangkat 3 ini, coba kita cek apakah lambda sama dengan 1 itu merupakan solusi atau merupakan akar.

Karena kalau kita sudah tahu lambda sama dengan 1 itu, pertama lambda sama dengan 1 ini mudah untuk dimasukkan karena dia tidak dipangkatkan berapa saja, 1.

Kedua, kalau kita tahu bahwa ini merupakan akar maka kita bereduksi persamaan polinom pangkat 3 ini jadi polinom pangkat 2.

Kita sudah tahu cara mencari solusi polinom pangkat 2.

Jadi triknya adalah kita cek lambda sama dengan 1 ini akar atau bukan.

Kalau bukan berarti kita tidak bisa mereduksi, kita harus mencari cara lain apakah numerik atau bagaimana.

Tapi kalau kita cek di sini, bagaimana cara menceknya?

Kita masukkan saja, kalau di sini 1, dikurang 2, dikurang 1, ditambah 2, ternyata memenuhi ruas kiri akan sama dengan ruas kanan.

Jadi ini solusi, lambda sama dengan 1 ini adalah solusi.

Nah ini keuntungan, kalau kita bisa mendapatkan hal seperti ini maka artinya apa?

Sekarang saya bisa mereduksi polinom order 3 ini menjadi lambda minus 1 dikali polinom order 2 atau persamaan kuadrat.

Saya tuliskan saja seperti lambda kuadrat plus A lambda plus B.

Maka ini harus sama dengan ruas kiri dari persamaan polinom di atas.

Oke, dengan seperti itu maka kita bisa matching koefisien di ruas kiri dan koefisien di ruas kanan.

Kalau saya tuliskan di sini di ruas kiri, kalau saya buka ruas kirinya ini menjadi seperti ini, plus B min A lambda min B.

Ini harus sama dengan yang di ruas kanan.

Di ruas kanan saya punya 1 sebagai koefisien lambda panget 3, sama.

Saya punya minus 2 sebagai koefisien lambda panget 2, maka ini harus lambda min 1 ini harus sama dengan minus 2.

Dari situ kita bisa mencari solusi untuk A, kita punya min 1 sebagai koefisien dari lambda panget 1.

Jadi ini harus sama dengan min 1 dan 2 sebagai koefisien lambda panget 0, maka minus B ini harus sama dengan 2.

Jadi dengan kata lain kita bisa dapatkan A dan B nya.

Jadi di sini B nya adalah minus 2, A nya dengan mudah bisa dicari adalah min 1.

Dengan kata lain, maka saya punya persamaan ini menjadi, saya tulis di sini lambda min 1 dikali lambda kuadrat min lambda min 2.

Ini bisa kita sederhanakan lagi, lambda min 1, ini adalah lambda min 2 dan lambda plus 1.

Dengan kata lain akar-akarnya adalah lambda sama dengan 1, lambda sama dengan 2 dan lambda sama dengan min 1.

Kita lihat ketiga akarnya ini distinct dan real.

Maka secara umum solusinya dapat saya tulis C1 E pangkat X tambah C2 E pangkat 2X tambah C3 E pangkat minus X.

Inilah solusi umum dari PDB Odeh 3 tersebut.