Name: Klasfikiasi Akar-akar PDB Orde Tinggi
Uploaded: 2023-07-16

Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas klasifikasi akar-akar Persamaan Diferensial Biasa Orde Tinggi. Untuk kasus koefisien konstan dan homogen, akar-akar persamaan polinom yang ditemukan menjadi fokus utama. Terdapat tiga klasifikasi akar-akar, yaitu real dan berbeda, akar-akar kembar, serta akar-akar kompleks. Penjelasan lebih lanjut akan diberikan pada video-video selanjutnya.

Di pembahasan lalu kita sudah mengenal PDB order tinggi yang linier dan homogen secara umum bisa kita tulis seperti ini

jika koefisiennya konstan, jadi kita fokuskan pada kasus yang koefisien konstan dan homogen.

Nah dengan mengambil ansatz berupa fungsi eksponen

dengan A adalah konstanta dan lambda adalah argumen dari fungsi eksponen tersebut

dan memasukkan kembali ansatz ini ke dalam persamaan diferensial tadi

kita akan dapatkan persamaan polinom yang harus dipenuhi oleh lambda

jika dia merupakan akar-akar dari dan merupakan solusi dari persamaan tadi.

Jadi lambda di sini merupakan akar-akar dari persamaan polinom yang kita dapatkan.

Polinom ber-order n, jadi bergantung order turunannya maka order tersebutlah yang menjadi order tertinggi dari polinom yang akan kita selesaikan.

Kalau kita berkaca pada kasus PDB order 2, kita lihat bahwa nature atau karakteristik dari solusi yang akan kita peroleh itu akan bergantung pada akar-akar persamaan polinomnya

dalam konteks order 2 adalah akar-akar persamaan kwadratnya.

Nah jika lambda merupakan akar-akar dari persamaan polinom ini maka secara umum ada n buah akar.

Misalnya pada kasus order 2 maka kita punya 2 buah akar, tidak mungkin persamaan kwadrat punya lebih dari 2 akar.

Maka di sini persamaan order n, persamaan polinom order n juga paling banyak punya n buah akar.

Kita bisa klasifikasi solusi berdasarkan sifat dari atau karakteristik dari akar-akarnya.

Kalau kita punya akar-akar lambda yang seluruhnya itu disting atau berbeda satu sama lain.

Jadi kalau boleh saya tulis lambda 1, lambda 2 sampai lambda n dan seluruhnya ini berbeda sama sekali.

Jadi lambda 1 tidak sama dengan lambda 2 sampai lambda n demikian pula lambda 2 tidak sama dengan lambda 3 sampai n dan seterusnya.

Jadi tidak ada akar-akar yang sama, maka ini kita katakan sebagai klasifikasi akar-akar yang real dan berbeda.

Kita akan bahas nanti di video selanjutnya bagaimana natur dari solusi ketika akar-akarnya real dan berbeda.

Bisa pula kita punya kemungkinan di antara n buah akar ini ada m buah akar yang sama.

Jadi kalau boleh saya gambarkan klasifikasi seperti ini jadi ini lambda 1, lambda 2 dan di antara mereka ada lambda k, k disini kembar maksudnya.

Sebanyak m buah tidak harus 2, bisa lebih dari 2 sampai lambda n.

Nah ini yang kita namakan sebagai akar-akar yang kembar atau akar-akar yang berulang dan karena polinomia lebih dari 2

Bisa juga kita punya kasus di mana lambdanya ini ada yang kompleks.

Misalnya disini dan kompleksnya itu bisa lebih dari 1 pasang.

Jadi kita namakan lambda kompleks 1 ini konjugatenya gitu ya, ada lambda kompleks yang lain dengan konjugatenya masing-masing

Nah disini maka ini masuk dalam klasifikasi akar-akar yang kompleks.

Oke disini sekedar keterangan ya lambda c ini akar yang kompleks karena dia bilang kompleks

dia selalu bisa dinyatakan sebagai kombinasi linier dari bilangan real dan bilangan imaginary.

Saya akan menggunakan notasi yang sama di PDBO II yaitu alfa dan i beta.

Alfa dan beta adalah bilangan real maka i dikali beta adalah bilangan imaginary.

Kalau lambda c adalah seperti ini maka lambda c yang star ini kita namakan konjugate dari bilangan kompleksnya atau dual

Oke jadi secara umum ada 3 klasifikasi bagi akar-akar PDBO II.

Di video-video berikutnya kita akan mengulas satu persatu.

Klasfikiasi Akar-akar PDB Orde Tinggi

DEKSRIPSI

PENGAJAR

Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

DEKSRIPSI

Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.