Name: PDB Orde Tinggi: Akar-akar Kompleks
Uploaded: 2023-07-16

Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas tentang persamaan diferensial biasa orde tinggi dengan akar-akar kompleks. Akar kompleks selalu memiliki pasangan konjugatnya dan dapat dipecahkan menjadi kombinasi linear bilangan real dan imaginer. Solusi untuk akar kompleks ini berbentuk sinusoidal, seperti pada kasus PDB Ode 2. Contoh penerapan diberikan pada PDB Ode 3 dengan akar kompleks ±10i, menghasilkan solusi umum berupa kombinasi sinus dan kosinus. Solusi ini memungkinkan penyelesaian kasus dengan akar kompleks dalam persamaan diferensial.

Klasifikasi terakhir untuk kasus PDB order tinggi yang homogene adalah ketika akar-akarnya kompleks.

Artinya ada m buah akar yang kompleks bersama m buah konjugatenya.

Jadi secara umum saya punya n buah akar dari polinom order n, dari n buah akar ini ada m buah akar yang kompleks.

Di sini tentunya 2m itu lebih kecil daripada n.

Kenapa saya tulis 2 di sini? Karena akar yang kompleks selalu disertai dengan pasangan konjugatenya.

Yang saya maksud dengan akar kompleks itu akar yang selalu bisa dinyatakan dalam kombinasi linear, bilangan real dan bilangan imaginer.

Kalau ada lebih dari 1, lambda C berarti saya bisa parameterisasi dengan lambda C1, lambda C2 dan seterusnya.

Bentuk konjugate dari bilangan kompleks lambda C adalah lambda C star.

Atau mungkin di beberapa literatur menggunakan topi atau tilde.

Jadi direfinisikan sebagai kombinasi linear, bilangan real dan imaginernya dengan tanda minus pada suku yang imaginernya.

Kalau sistemnya seperti ini maka sama juga akan ada solusi yang menangani akar-akar kompleks ini.

Dan solusi tersebut tentunya berbentuk sinusoidal seperti yang sudah kita bahas pada kasus PDB Ode 2.

Jadi saya hanya fokuskan solusi yang kompleksnya, solusi dari akar kompleks.

Saya namakan YC, ini langsung saja saya tulis bahwa akan punya koefisien E tangkat AX.

Dan di sini akan ada konsanta dikali cos BX ditambah konsanta dikali sin BX.

Jadi ini solusi umumnya untuk akar-akar yang kompleks seperti ini.

Nah mari kita ambil contoh ya, kita ambil contoh misalnya di sini saya punya PDB Ode 3.

Katakanlah sebagai berikut, Y triple aksen dikurang Y double aksen ditambah 100 Y aksen dikurang 100 Y sama dengan 0.

Kita lihat bahwa persamaan polinom untuk lambda itu dapat ditulis sebagai berikut.

Dan juga dengan mudah kita bisa cek bahwa lambda sama dengan 1 adalah solusi.

Lambda sama dengan 1 ini solusi, sehingga kalau kita mau faktorkan langsung saja saya faktorkan.

Di sini lambda minus 1 maka di sini adalah kuadrat, polinom Ode 2.

Polinom Ode 2 nya itu bisa ditulis sebagai berikut, lambda kuadrat plus 100.

Kalau kita cek kita akan dapatkan bentuk seperti ini, lambda pangkat 3 plus 100 lambda minus lambda kuadrat minus 100.

Maka akar-akarnya apa saja, akar-akarnya adalah 1, nah di sini kita lihat di sini kita punya akar-akar yang kompleks 10I dan minus 10I.

Jadi ada plus minus 10I, ada 3 akarnya, 2 nya kompleks.

Maka solusi umumnya termasuk solusi yang kompleksnya, di sini solusi umumnya ada 1 yang tidak kompleks,

saya tuliskan C1 E pangkat X, ada 2 yang kompleks C2, E pangkat di sini bisa saya tulis 10IX gitu ya.

Kalau saya ubah ke dalam bentuk sinus dan kosinus maka saya bisa tuliskan ini karena ini pure imaginary,

sebenarnya bukan kompleks tapi pure imaginary, tidak ada komponen real nya.

Maka langsung saja di sini saya tuliskan konstante saya bedakan saja,

Nah inilah solusi umum dari kasus seperti ini, di mana kita punya akar yang kompleks.