Name: PDB Orde Tinggi Linear Nonhomogen
Uploaded: 2023-07-16

Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas tentang cara mencari solusi non-homogen pada Persamaan Diferensial Biasa (PDB) orde tinggi linear dan koefisien konstan. Dalam kasus linear dan koefisien konstan, solusi non-homogen PDB orde tinggi dapat ditemukan dengan mengombinasikan solusi homogen dan solusi partikular. Melalui contoh kasus PDB orde 3, video menjelaskan langkah-langkah mencari solusi homogen dan solusi partikularnya. Dengan menggunakan metode koefisien tertentu, solusi partikular ditemukan berupa 5X^3e^(-X), sementara solusi homogen terdiri dari C1 + C2X + C3X^2. Dengan demikian, solusi umum dari persamaan diferensial orde tiga tersebut adalah kombinasi solusi partikular dan solusi homogen.

Oke, setelah kita membahas kasus yang homogene untuk PDB order tinggi, linear dan coeffisien constant,

mari kita membahas bagaimana mencari solusi yang non-homogenenya.

Pada prinsipnya, tidak ada teknik baru yang perlu diperkenalkan untuk mencari solusi non-homogene pada PDB order tinggi ini.

Dengan kata lain, kita bisa menggunakan teknik yang sudah kita pelajari di PDB order 2 non-homogene untuk diterapkan di kasus order tinggi.

Mungkin kita langsung masuk membahas contoh bagaimana cara penerapannya.

Sebagai contoh, saya punya PDB order 3 sebagai berikut.

Kita tahu, baik di order 1, di order 2 maupun order yang lebih tinggi,

PDB yang non-homogene itu selalu punya solusi yang merupakan kombinasi linear dari solusi homogene plus solusi partikularnya.

Perlu saya spesifikasi bahwa ini kasus yang linear saja.

Jadi kita berbicara dalam kasus yang linear dan coeffisien constant.

Pada kasus tersebut, solusinya selalu bisa dikomposisi menjadi solusi homogene ditambah solusi partikular.

Di sini kita sudah tahu solusi homogene untuk ruas kirinya apa.

Kalau kita masukkan ansas E pangkat lambda X ke dalam persamaan tersebut,

maka persamaan differential ini akan terreduksi menjadi persamaan polinum order 3 untuk lambda.

Yaitu lambda pangkat 3 plus 3 lambda kuadrat plus 3 lambda plus 1 sama dengan 0.

Untuk menentukan solusi homogene dahulu, kita bisa lihat bahwa ini dengan mudah bisa kita faktorkan.

Sebenarnya ini adalah lambda plus 1 pangkat 3.

Kalau kita melihat coeffisiennya, ini membentuk pola coeffisien binomial.

Jadi dengan mudah saya bisa cek bahwa lambda plus 1 pangkat 3 itu memenuhi sama dengan 0.

Artinya saya punya akar-akar triple roots berupa lambda min 1.

Jadi di sini akar-akar homogenenya adalah min 1 sebanyak 3 kali.

Karena kita punya akar kembar sebanyak 3,

maka solusi homogenenya haruslah berbentuk seperti yang sudah kita pelajari sebelumnya.

Suku kedua agar linearly independent maka haruslah dikalikan dengan X.

Dan suku ketiga adalah X kuadrat E pangkat min X.

Sekarang kita coba cek solusi partikularnya.

Solusi partikularnya itu bergantung pada apa fungsi B-nya.

Maka kita bisa menebak bahwa solusi partikularnya ini pastilah harus berupa suatu koefisien

yang akan kita tentukan dengan metode koefisien tertentu mengalirkan E pangkat min X juga.

Tapi tentunya kita bisa dengan mudah mengecek bahwa tebakan kita ini kurang tepat.

Karena E pangkat minus X itu juga adalah akar-akar bagi solusi homogen.

Jadi kita tidak mungkin menggunakan bentuk seperti ini.

Karena ini akan linearly dependent, tak independent dengan solusi yang pertama di kasus homogen.

Kita juga tidak bisa menggunakan X dikali E pangkat minus X karena itu sudah ada di sini.

Atau X kuadrat E pangkat minus X karena sudah ada di sini.

Jadi satu-satunya kemungkinan paling rendah yang bisa kita cek adalah X pangkat tiga E pangkat min X.

Kita coba cek apakah ansat ini memenuhi dengan katanya apakah ansat ini akan memberikan

Ini cukup panjang karena ini ada X pangkat tiga jadi 3 AX kuadrat E pangkat minus X min AX pangkat tiga E pangkat minus X.

Saya punya di sini ada 6 AX E pangkat minus X min 3 AX kuadrat E pangkat minus X.

Tapi saya juga akan dapat minus 3 AX kuadrat E pangkat minus X dari turunan suku yang ini.

Jadi keduanya menjumlahkan minus 3, minus 3 jadi minus 6.

Dan terakhir saya punya plus AX pangkat tiga E pangkat minus X turunan dari eksponensialnya.

Jadi ini menjadi kalau saya turunkan menjadi 6 A E pangkat minus X.

Di sini saya punya minus, sorry masih dari sini ada 6 AX E pangkat minus X.

Turunan dari sini saya punya minus 12 AX pangkat minus X.

Saya biarkan dulu karena mungkin ada suku-suku lain yang bisa menambahkan suku X E pangkat minus X ini.

Lalu disini ada plus 6 AX kuadrat E pangkat minus X.

Di sini saya punya 3 AX kuadrat E pangkat minus X minus AX pangkat tiga E pangkat minus X.

Kalau ini saya serahanakan, saya simplifikasi saya punya 6 A E pangkat minus X.

Di sini saya punya minus 6 AX minus 12 AX berarti ada minus 18 AX E pangkat minus X.

Di sini ada plus 6 AX kuadrat plus 3 AX kuadrat ada 9 AX kuadrat E pangkat minus X.

Dan terakhir ada satu suku yang mengandung X pangkat tiga E pangkat minus X.

Nah kita masukkan semua ke dalam persamaan ini.

Jadi saya keluarkan A nya dan saya keluarkan E pangkat minus X nya.

Jadi disini saya punya 6 minus 18 X plus 9 X kuadrat minus X pangkat tiga.

Ditambah 3 kali ini berarti ditambah 18 X dikurang 18 X kuadrat ditambah 3 X pangkat tiga.

Ditambah 3 kali ini maka ditambah 9 X kuadrat dikurang 3 X pangkat tiga dan terakhir ditambah X pangkat tiga saja.

Ini mengalihkan E pangkat minus X dan ruas kirinya harus sama dengan 30 E pangkat minus X.

Tentunya E pangkat minus X bisa kita cancel.

X pangkat tiga itu disini cancel dengan ini juga ada 3 X pangkat tiga cancel dengan minus 3 X pangkat tiga tercancel.

Mungkin untuk membedakan cancelationnya saya cancelnya double untuk membedakan dengan yang ini.

Ada 9 X kuadrat dikurang 18 X kuadrat ditambah 9 X kuadrat tercancel juga.

Yang suku X adalah minus 18 plus 18 jadi sisanya tinggal 6.

Jadi sekarang 6 A sama dengan 30 atau A sama dengan 5.

Maka solusi umum dari persamaan difrensial ini adalah solusi partikular 5 X pangkat tiga E pangkat minus X ditambah solusi homogenenya.

Karena mereka semua mengalihkan E pangkat minus X jadi saya keluarkan saja E pangkat minus X nya.

Disini ada C1 ditambah C2 X ditambah C3 X kuadrat ditambah 5 X pangkat tiga mengalih E pangkat minus X.

Inilah solusi umum dari persamaan difrensial order tiga tersebut.