Name: Contoh PDB Euler-Cauchy
Uploaded: 2023-07-16

Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas contoh penerapan Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 dalam konteks fisika, khususnya Persamaan Euler-Cauchy. Persamaan tersebut sering muncul dalam fisika terkait medan elektromagnetik dan mekanika kuantum. Dengan struktur spesifik persamaan ini, kita dapat menebak solusi ansatnya, yang dalam kasus ini adalah fungsi S sebanding dengan R pangkat M. Setelah melakukan perhitungan, ditemukan bahwa solusi umum dari fungsi S adalah kombinasi linier antara R pangkat L dan R pangkat Min L Min 1. Ini adalah solusi umum dari persoalan Euler-Cauchy yang dijelaskan dalam video tersebut.

Sebagai penutup dalam pembahasan persamaan diferensial Euler-Cauchy,

marilah kita mengambil contoh aplikasi di fisika.

Sini saya punya S sebagai fungsi R, R di sini konteks fisikanya adalah fungsi radial,

dan S ini memenuhi persamaan diferensial berikut.

Di sini ada L, L adalah suatu konsanta, L dikali L plus 1, L adalah suatu konsanta.

Persamaan ini banyak muncul sebagai bentuk radial dari persamaan Laplas,

dan persamaan Laplas itu banyak ditemui di fisika dalam konteks medan elektromagnetik,

medan elektrostatik, untuk mencari solusi potensial listrik yang statik,

maupun juga ditemui di mekanika kuantum untuk mencari solusi persamaan Schrodinger

Sekarang bagaimana kita mencari solusinya?

Seperti yang kita sudah temui di beberapa video sebelumnya tentang persamaan diferensial Euler-Cauchy,

strukturnya itu spesifik sehingga memungkinkan kita untuk bisa menebak solusi ansatnya.

Di sini struktur spesifiknya adalah sebagai berikut bahwa fungsi yang mengalikan turunan order 2

itu fungsinya pangkat 2, yang mengalikan turunan order 1 fungsinya pangkat 1,

dan yang mengalikan turunan order 0 adalah fungsi R pangkat 0.

Dengan kata lain setelah kita melihat struktur persamaan ini kita bisa menduga

atau kita bisa mengatakan bahwa ini adalah persamaan diferensial Euler-Cauchy.

Maka kita bisa menebak bahwa ansat solusinya itu dalam bentuk R pangkat M.

Di sini saya gunakan tanda kesebandingan, artinya fungsi S ini sebanding dengan R pangkat M,

saya tidak ingin bergelut dengan konstantai yang pada level solusi umum saya tidak butuh

untuk diketahui konstantanya, jadi saya tuliskan saja bahwa S ini sebanding dengan R pangkat M.

Artinya kalau kita masukkan kita cari S aksennya itu adalah M dikali R pangkat M-1

dan S double aksennya itu juga M dikali M-1 dikali R pangkat M-2.

Kita masukkan semua ke dalam persamaan ini,

kita dapat persamaan kuadrat yang harus dipenuhi oleh koefisien M plus 2M minus L, L plus 1 sama dengan 0.

Atau dikata lain kalau kita sederhanakan lebih jauh ini adalah M kuadrat dikurang M plus 2M berarti plus M,

Nah, kalau kita faktorkan atau kita cari akar-akarnya kita dapatkan ini adalah Min 1 plus minus akar 1 Min 4 dikali Min L, L plus 1

berarti plus 4 dikali L, L plus 1 dibagi 2.

Kalau kita sederhanakan yang dalam akar ini adalah 4L kuadrat plus 4L plus 1.

Nah, 4L kuadrat plus 4L plus 1 ini kebetulan bisa kita faktorkan dengan mudah ya.

Ini adalah Min 1 plus minus akar, dia tidak lain daripada 2L plus 1 dikuadratkan.

Jadi dengan kata lain saya punya akar-akar untuk M adalah kalau saya buka akarnya maka ini menjadi seperti ini saja ya.

Min 1 plus minus 2L plus 1 semuanya dibagi 2.

Nah, akar-akarnya adalah kalau saya ambil akar positifnya maka menjadi Min 1 plus 2L plus 1.

Jadi Min 1 tercancel, ini hanyalah L, kalau akar-akar yang negatifnya saya ambil minusnya ini Min 1 Min 2L Min 1

berarti Min 2L Min 2 dibagi 2, ini adalah Min L Min 1.

Jadi dengan kata lain, solusi umum dari fungsi S adalah suatu koefisien dikali R pangkat L

ditambah koefisien lain dikali R pangkat Min L Min 1 atau seper R pangkat L plus 1.

Inilah solusi umum dari kasus persamaan Euler tersebut.