Name: Klasifikasi Solusi PDB Orde 2
Uploaded: 2023-07-16

Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas klasifikasi solusi Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 berdasarkan diskriminan. Diskriminan, yang merupakan A1 kuadrat dikurangi 4 A2 A0, memiliki tiga kemungkinan nilai: lebih besar dari 0, sama dengan 0, dan kurang dari 0. Jika diskriminan lebih besar dari 0, akar-akarnya real dan berbeda; jika sama dengan 0, akar-akarnya kembar dan real; sedangkan jika kurang dari 0, akar-akarnya kompleks. Solusi PDB akan bergantung pada diskriminan, di mana eksponensialnya dapat menjadi eksponensial real dan berbeda, eksponensial kembar dan real, atau eksponensial kompleks.

Oke, tadi di video sebelumnya kita sudah melihat bahwa jenis dari solusi PDB-O22 dengan coeffisien constant ini itu ditentukan oleh akar-akar persamaan kwadrat yang bergantung pada A2, A1, dan A0.

Dan akar-akar ini bisa kita tentukan dengan cara yang kita kenal sebagai rumus ABC.

Dan kalau bagi anda yang familiar dengan persamaan kwadrat tentunya anda juga kenal konsep diskriminan.

Diskriminan itu adalah kuantitas yang berada di dalam akar ini, di suku kedua dari akar-akar A plus dan A minus.

Dengan kata lain diskriminan itu adalah A1 kwadrat dikurang 4 A2 A0.

Nah, ada tiga kemungkinan nilai diskriminan yang bisa kita punya.

Yang pertama diskriminannya itu bisa jadi lebih besar daripada 0.

Dengan kata lain A1 kwadrat itu lebih besar daripada 4 A2 A0.

Jadi disini A1 kwadrat lebih besar daripada 4 A2 A0.

Bisa juga kita punya diskriminan yang persis sama dengan 0.

Dengan kata lain A1 kwadrat sama dengan 4 A2 A0.

Dan kemungkinan ketiganya adalah diskriminannya kurang dari 0.

Atau A1 kwadrat itu lebih kecil daripada 4 A2 A0.

Nah, apa konsekuensi dari masing-masing kemungkinan ini?

Kalau kita punya diskriminan yang lebih besar daripada 0,

dan kata lain bilangan di dalam akar ini nilainya positif,

maka ketika kita tarik akar hasilnya adalah real.

Kita tahu A1, kalau kita asumsikan A1 dan A2 adalah real,

maka kita bisa mengatakan bahwa A plus dan A minus ini akar-akar yang real dan berbeda.

Jadi A plus A minus ini real dan mereka tidak sama.

Kalau kondisi kedua diskriminannya 0, maka dalam akar ini 0.

Akarnya pun 0, dengan kata lain A plus akan sama dengan A minus.

Atau yang kita kenal sebagai akar kembar.

A plus sama dengan A minus, kita namakan saja A.

Jadi ini kembar akarnya, kembar dan real.

Kemungkinan ketiga, ketika diskriminannya kurang dari 0,

maka apa yang dalam akar ini adalah negatif.

Kita tahu kalau kita punya akar dari suatu bilangan negatif,

maka hasil akarnya adalah suatu bilangan yang imajiner.

Jadi apa yang dalam ini, apa yang sudah kita akarkan ini imajiner.

Dengan kata lain, maka A plus atau A minus ini adalah suatu bilangan yang real.

Saya bisa tuliskan sebagai, katakanlah seperti ini.

Alpha dan beta adalah anggota bilangan yang real.

Tapi beta real dikalikan dengan bilangan imajiner, maka ini menjadi imajiner.

A plus dan A minus adalah penjumlah atau kombinasi linear dari bilangan real dan bilangan imajiner.

Nah ini yang kita namakan, berarti A plus dan A minus inilah komponen dari bilangan yang kompleks.

Dengan kata lain, kita bisa rangkum bahwa nature atau sifat dari solusi persamaan diferential biasa.

Dua-dua ini akan bergantung pada diskriminannya.

Kalau diskriminannya lebih besar dari 0, akar-akarnya adalah real.

Atau dengan kata lain, eksponensialnya adalah eksponensial real dan berbeda.

Kalau diskriminannya persis sama dengan 0, eksponensialnya menjadi eksponensial.

Kita akan melihat treatment khusus solusi eksponensialnya, tapi akarnya menjadi kembar dan real.

Kalau diskriminannya kurang dari 0, maka akar-akarnya kompleks.

Tadi kita ambil di contoh sebelumnya mengenai oscilator harmonik.

Kita lihat bahwa itu contoh dari kasus yang akarnya adalah kompleks.

Nah, kasus untuk akar real, ini sebenarnya kalau A plus tidak sama dengan A minus,

maka dengan kata lain, solusinya akan mengambil bentuk seperti yang sudah kita punya,

Jadi, solusi umum yang kita bahas di video sebelumnya, itu memenuhi kondisi pertama ini.