Name: Contoh Solusi PDB dengan Transformasi Laplace
Uploaded: 2023-07-16

Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas penggunaan transformasi Laplace dalam menyelesaikan Persamaan Diferensial Biasa (PDB) linear order 2. Transformasi Laplace diterapkan pada PDB linear dengan syarat awal tertentu, contohnya dalam kasus osilasi terpaksa dengan simpangan awal 10 dan kecepatan awal 0. Melalui transformasi Laplace, solusi PDB tersebut dapat ditemukan dengan mengidentifikasi fungsi Y sebagai fungsi P. Dengan menggunakan tabel transformasi Laplace, solusi homogen dan partikular dari PDB dapat diuraikan menjadi fungsi trigonometri seperti cos 2t dan sin 2t.

Baik setelah kita mengetahui apa itu transformasi Laplace untuk turunan dari fungsi

baik turunan order pertama maupun turunan order yang lebih tinggi

maka marilah kita coba gunakan untuk mencari solusi dari PDB linear

saya punya PDB linear order 2 seperti ini dengan coeffisien constant

apa yang perlu saya lakukan adalah saya akan tarik transformasi Laplace kedua ruasnya

saya tarik transformasi Laplace kedua ruasnya

berdasarkan aturan linearitas sifat linearitas maka ruas kiri saya punya transformasi Laplace dari Y double aksen

ditambah 4 kali transformasi Laplace dari fungsi Y

sedangkan di ruas kanan saya punya transformasi Laplace dari fungsi sin 2t

disini diasumsikan bahwa Y adalah fungsi t

kita tahu ini apa dari pembahasan sebelumnya ini adalah P kuadrat dikali Y min P dikali Y 0 min Y 0 aksen

apa itu transformasi Laplace dari sin omega t

disini tidak ada lain daripada 2 per P kuadrat plus 2 kuadrat atau 4

jadi hasil transformasi Laplace dari PDB ini adalah sebagai berikut kedua ruasnya

ada yang perlu ditambahkan bahwa transformasi Laplace ini bekerja ketika PDBnya itu dilengkapi dengan syarat awal

dalam hal ini spesifik syarat awal kita butuh Y 0 dan Y 0 aksen

misalkan kita berikan syarat awalnya adalah sebagai berikut

Y 0 atau Y pada t sama dengan 0 ini adalah 10

jadi kita bisa bayangkan kita bisa lihat bahwa ini menggambarkan sistem osilasi yang terpaksa

dan cepatan awalnya ini 0 atau Y 0 aksen adalah 0

maka disini saya punya P kuadrat plus 4 Y 0 aksen adalah 0

dikurang 10 P sama dengan 2 per P kuadrat plus 4

kalau saya ingin menyatakan Y sebagai fungsi P maka ini adalah sebagai berikut

jadi Y ini berarti adalah 2 per P kuadrat plus 4 kuadrat

dan inilah fungsi Y sebagai C besar sebagai fungsi P

kalau kita ingat kembali bahwa transformasi Laplace dari fungsi Y

ini yang kita simbolkan sebagai Y sebagai fungsi P

yang mau kita cari adalah solusi Y kecil dengan kata lain kita ingin mencari Y

berarti Y itu adalah transformasi inverse dari Y besar

ini tadi saya katakan bahwa kita butuh transformasi inverse

berarti saya sudah punya bentuk fungsi P seperti ini

saya ingin mencari fungsi T apa yang berkorelasi dengan fungsi P seperti ini

atau dengan kata lain Y fungsi T apa yang kalau kita tarik transformasi Laplace mendapatkan bentuk seperti ini

cara paling mudah adalah dengan melihat ke tabel transformasi Laplace

kalau kita lihat tabel transformasi Laplace banyak bisa ditemukan di literatur

maka hasil ini dapat saya cari transformasi inversenya

plus transformasi inverse Laplace dari 10 P per P kuadrat plus 4

kita bisa dapatkan bahwa hasilnya untuk yang ini dengan mudah kita lihat

ini agak sedikit lebih rumit harus di uraikan

saya tulis di sini 1 per 8 sin 2T minus 2T cos 2T

nah ini kita bisa melihat bahwa cos 2T dan sin 2T ini

didapatkan sebagai solusi homogen dari PDB tersebut

sedangkan suku yang mengandung T cos 2T adalah solusi partikularnya