Name: Contoh Transformasi Laplace: Fungsi Eksponen
Uploaded: 2023-07-16

Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas transformasi Laplace untuk fungsi eksponen, dimulai dengan eksponen dalam bentuk minus AX. Penting untuk memilih nilai A yang membuat eksponen tetap negatif agar integralnya well-defined. Terdapat constraint bahwa nilai real dari P plus A harus positif agar hasil integral tidak singular. Jika A kompleks, syaratnya adalah komponen real dari P plus A harus bernilai positif untuk mendapatkan hasil yang well-defined. Transformasi Laplace pada fungsi eksponen menjadi simpel dan bergantung pada nilai P yang memenuhi constraint tersebut.

Bagai fungsi yang kedua yang kita bahas adalah, bagaimana jika y nya adalah fungsi eksponen.

Sebenarnya fungsi eksponen ini bukan fungsi yang paling sederhana setelah fungsi konstan ya.

Kita bisa bayangkan fungsi yang lebih sederhana misalnya fungsi linier atau fungsi polinom.

Tapi di sini saya akan mendahulukan pembahasan transformasi Laplace untuk fungsi eksponensial.

Kenapa? Karena karnelnya juga bentuk eksponensial.

Jadi justru pemilihan fungsi eksponensial ini bisa mempermudah perhitungannya.

Baik, coba kita bahas transformasi Laplace untuk fungsi eksponen.

Di sini saya mengambil eksponen dalam minus AX dengan asumsi tentunya A nya ini dalam hal ini bisa real.

Nanti kita bisa lihat A nya itu bisa kompleks atau imajiner ya.

Oke, di sini saya memberikan nilai minus ya.

Kalau kita ingin punya fungsi eksponen yang positif ya kita bisa memilih signature untuk A nya negatif.

Baik, kalau ini yang terjadi maka kita bisa masukkan fungsi eksponen tersebut.

Berarti sekarang saya punya minus P plus A mengalirkan X DX.

Sekali lagi ini hanyalah integral dari fungsi eksponen saja dan menjadi simpel.

Integralnya ini adalah minus seper P plus A.

Kalau kita ambil batas-batas integralnya dari X sama dengan 0 sampai X menuju ke tak berhingga.

Nah kita lihat di sini, P nya ini kita ambil positif, A nya bisa positif bisa negatif.

Tapi agar limit atas dari eksponensial ini berharga well defined atau tidak singular

maka harus ada constraint nilai A atau lebih tepatnya lagi, lebih umumnya lagi constraint dari P plus A nya.

Kita lihat kalau kita asumsikan A nya ini positif juga, real dan positif maka eksponen ini seluruhnya adalah angkat negatif.

Sehingga ketika kita ambil limit X mengetik tak berhingga dia akan menuju ke 0.

Dan X diambil limit sama dengan 0 eksponensialnya akan menjadi 1.

Nah ini maka kita dapatkan 0 dikurang 1 jadi ini hanyalah P plus A saja.

Ya, adalah P per A saja dan ini adalah kita bisa tuliskan sebagai fungsi yang bergantung Y bergantung pada P.

E banget minus P plus A X akan menuju ke 0 ketika kita ambil limit X mengetik tak berhingga

hanya ketika P plus A ini lebih besar daripada 0.

Jadi kondisi ini valid untuk kasus P plus A lebih besar daripada 0.

Karena jika P plus A ternyata menghasilkan nilai negatif maka eksponensial minus suatu bilangan negatif X menjadi eksponensial positif X.

Yang kalau kita ambil limit tak berhingganya itu akan blow up atau akan singular.

Jadi agar kita punya hasil integral yang well-defined kondisi ini maka rentang A-nya sedemikian rupa restricted

sedemikian rupa sehingga P plus A harus lebih besar daripada 0.

Bagaimana kalau A-nya tidak real, kompleks?

Boleh saja tapi lalu syaratnya kita berikan bahwa nilai real atau komponen real dari P plus A ini haruslah bernilai positif.

Kalau ini terpenuhi maka kita dapatkan hasil yang well-defined seperti ini.