Name: Teknik Separasi Variabel: Contoh 2 - Mekanika
Uploaded: 2023-07-16

Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas teknik separasi variabel dalam persamaan diferensial biasa orde 1 dengan contoh penerapan pada mekanika. Persamaan gerak benda jatuh dengan hambatan udara dapat diselesaikan menggunakan teknik ini. Dengan mengaplikasikan syarat awal, solusi unik untuk kecepatan objek jatuh sebagai fungsi waktu ditemukan. Kecepatan terminal, yang merupakan kondisi asimptotik ketika waktu sangat besar, dapat dipahami melalui plot fungsi kecepatan terhadap waktu dalam persamaan tersebut.

Sebagai contoh kedua, mari kita tinjau kembali kasus dinamika benda jatuh yang sempat kita singgung di pertemuan sebelumnya.

Saya punya suatu objek dengan masa M yang dijatuhkan, katakanlah dari kondisi cepatan awalnya 0 tanpa kecepatan awal.

Dari suatu ketinggian dalam pengaruh medan gravitasi.

Di sini kita libatkan gaya hambatan udara.

Ingat kembali bahwa dari hukum Newton kita bisa menuliskan persamaan geraknya sebagai berikut.

Karena masa di ruas kiri dan ruas kanan sama, kita bisa cancel masanya sehingga kita dapatkan bentuk seperti ini.

Kalau kita perhatikan ini adalah bentuk persamaan diferential yang separable.

Kita kalikan kedua ruasnya dengan per G-KV, ingat G dan K adalah konsanta.

Maka ruas kiri itu dapat dituliskan dalam bentuk seperti ini.

G-KV, sementara ruas kanannya itu hanyalah DT saja.

Maka kita bisa integralkan kedua ruasnya.

Nah karena kita sudah punya syarat awal maka kita bisa impose syarat awalnya.

Baik belakangan setelah integral maupun kita bisa terapkan syarat awalnya sebagai batas integrasi.

Disini saya berikan batas integrasi dari 0 sampai T sembarang dan ini dari V0 sampai V sembarang.

Kita lihat bahwa integral ini bisa diselesaikan dengan substitusi sederhana.

Kalau kita substitusikan secara sederhana maka kita bisa tuliskan integral di ruas kiri itu adalah

Dievaluasi dari V sama dengan 0 sampai V sembarang.

Saya bisa kalikan kedua ruas dengan minus K.

Dan dengan memasukkan batas-batas integrasi ini saya dapatkan ini adalah lon G-KV per G.

Saya menggunakan sifat logaritmic disini.

Kalau lon A dikurang lon B itu sama dengan lon A per B.

Yang ingin kita cari adalah kecepatan objek jatuh ini sebagai fungsi waktu.

Maka saya inverse logaritmakan kedua ruasnya.

Saya eksponensialkan kedua ruasnya sehingga logaritmanya bisa hilang di ruas kiri.

Maka saya dapatkan disini adalah 1-K per G dikali V ini sama dengan E pangkat minus KT.

Kalau saya nyatakan V sebagai fungsi waktu,

maka dengan mudah saya bisa lihat bahwa ini adalah G per K dikali 1 minus E pangkat min KT.

Nah inilah solusi unik karena kita sudah impose syarat awalnya.

Dari persamaan dinamika benda jatuh dengan pengaruh hambatan udara.

Kalau kita tinjau sedikit mengenai persamaan ini,

kalau kita plot persamaan ini V sebagai fungsi waktu,

kita akan lihat bahwa pada T awal ketika T sama dengan 0,

maka eksponensialnya sama dengan 1, maka 1 dikurang 1-0.

Jadi ini mulai dari titik V sama dengan 0,

tapi ada satu titik di mana dia tidak akan naik ke kondisi yang tak berhingga.

Jadi alih-alih dia naik terus, dia akan mencapai suatu kondisi asimptotik.

Kondisi asimptotik ini diberikan oleh kecepatannya sama dengan konstan G per K.

Dalam kinematika kondisi asimptotik inilah yang kita kenal sebagai kecepatan terminal atau terminal velocity.