Name: Solusi Persamaan Diferensial
Uploaded: 2023-07-16

Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas tentang solusi dari persamaan diferensial, di mana solusi tersebut adalah fungsi yang memenuhi persamaan tersebut. Solusi dari persamaan diferensial biasa adalah hasil integral dari persamaan tersebut. Meskipun tidak semua persamaan dapat diintegralkan secara langsung, pada contoh sederhana yang dibahas dalam video ini, solusinya dapat dengan mudah diintegralkan. Solusi umum dari persamaan diferensial adalah solusi dengan konstanta integrasi, yang menghasilkan tak berhingga banyaknya solusi yang saling terkait. Untuk mendapatkan solusi unik, diperlukan syarat awal atau boundary condition yang akan menentukan nilai konstanta integrasi. Dengan memasukkan syarat awal ke dalam solusi umum, kita dapat mendapatkan solusi particular yang unik.

Setelah mengenal beberapa klasifikasi dari persamaan diferensial, tentunya kita bertanya apa ya dari persamaan diferensial yang ingin kita cari.

Objektif kita dalam mempelajari persamaan diferensial adalah kita ingin mencari solusi dari persamaan diferensial tersebut.

Apa yang dimaksud dengan solusi dari persamaan diferensial?

Pandang persamaan diferensial biasa seperti ini,

yang kita namakan atau yang kita definisikan sebagai solusi dari persamaan diferensial ini adalah fungsi y yang bergantung pada x

yang kalau kita masukkan kembali ke dalam persamaan tersebut maka fungsi ini memenuhi atau membuat ruas kiri sama dengan ruas kanan.

Sebagai contoh saya mengambil suatu persamaan diferensial yang sederhana.

Meskipun sampai video kali ini kita belum membahas cara-cara mencari solusi persamaan diferensial,

tapi untuk persamaan diferensial yang sederhana ini kita dapat dengan mudah mencari solusinya.

Sejatinya solusi dari persamaan diferensial adalah hasil integral dari persamaan tersebut.

Karena persamaan diferensial adalah persamaan yang mengandung derivatif maka solusinya adalah hasil integrasi dari persamaan tersebut.

Dalam banyak kasus persamaan diferensial yang kita temui itu tidak bisa diintegralkan secara langsung,

sehingga kita butuh metode atau teknik untuk mencari solusinya.

Tapi dalam contoh seperti ini kita bisa melihat bahwa ini persamaan diferensial yang dapat dengan mudah kita integralkan.

Ruas kiri ini bisa ditulis sebagai dy dx, ruas kanan adalah cos x.

Kalau saya kalikan kedua ruasnya dengan dx maka saya dapatkan di ruas kiri adalah dy sama dengan ruas kanannya adalah cos x dx.

Kalau kita integralkan kita lihat bahwa ruas kiri ini integral dari diferensial sesuatu adalah sesuatu itu sendiri.

Ruas kanannya integral dari fungsi cos x itu tidak lain daripada sin x.

Dan sebagaimana integral tak tentu kita tahu bahwa hasil integrasi selalu dilengkapi dengan suatu konsanta yang kita namakan konsanta integrasi.

Inilah solusi dari persamaan diferensial tersebut.

Solusi yang dilengkapi dengan konsanta integrasi itu kita namakan solusi umum atau general solution.

Artinya apa? Artinya independen atau tidak tergantung dari apa nilai c yang kita masukkan bentuk ini selalu merupakan solusi dari persamaan tersebut.

Konsekuensinya kita mendefinisikan bukan hanya satu solusi tapi sederet atau tak berhingga banyaknya solusi yang saling terkait.

Yang kita namakan family of solutions atau keluarga solusi dari solusi umum ini.

Kalau saya plot fungsi ini dengan mengambil nilai c sama dengan 0 saya dapatkan fungsi seperti ini.

Kalau saya ambil nilai c positif tak 0, saya dapatkan katakanlah seperti ini.

Kalau saya ambil nilai c negatif saya bisa dapatkan seterusnya.

Dan karena c ini sembarang ada tak berhingga nilai c yang bisa saya masukkan ke dalam c.

Artinya saya punya tak berhingga keluarga solusi.

Kalau kita ingin mendapatkan solusi di mana nilai c ini sudah ditentukan maka kita membutuhkan yang namanya syarat awal atau initial condition.

Atau dalam kasus yang lain adalah syarat batas.

Bagi contoh ketika saya membahas persamaan differential ini saya memberikan syarat awal.

Kalau y pada x sama dengan 0 nilainya adalah 1 misalnya.

Maka dengan syarat awal ini kita bisa menentukan nilai c.

Dari solusi umum kita masukkan syarat awal berarti di ruas kiri nilainya 1.

Kita masukkan x nya 0 sin 0 adalah 0 sama dengan c.

Yang kata lain saya sudah memfix nilai c.

Maka solusi yang constant integrasi sudah ditentukan berdasarkan syarat awal dapat dituliskan seperti ini.

Solusi tersebut bukan lagi dinamakan solusi umum atau general solution.

Tapi solusi ini kita namakan sebagai solusi yang unik atau solusi particular.

Unique solution atau particular solution.