Name: Contoh Reduksi Nonseperable menjadi Seperable
Uploaded: 2023-07-16

Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas contoh reduksi nonseperable menjadi separable dalam persamaan diferensial biasa orde 1. Persamaan awal yang non-seperable, 2xy = y^2 - x^2, dapat diubah menjadi persamaan separable dengan transformasi yang tepat. Melalui substitusi u = y/x, persamaan dapat disederhanakan menjadi u^2 + 1. Setelah proses integrasi, diperoleh bentuk akhir persamaan x^2 - (A/2)^2 = A^2/4, yang menggambarkan lingkaran dengan jari-jari A/2.

Mari kita ambil contoh, tinjau persamaan diferensial berikut, 2xy, sama dengan y2-x2.

Kalau kita lihat sekilas, maka persamaan ini jelas non-separable.

Anda tidak bisa memisahkan dengan cara sederhana ya,

bagian atau fungsi x hanya di satu ruas saja dan fungsi y di ruas lain saja.

Tapi kita bisa melakukan transformasi dari fungsi tersebut, sehingga kita bisa separasikan dia.

Pertama-tama kita sederhanakan fungsi persamaan diferensial ini dengan mengalihkan kedua ruasnya

Dengan membagi kedua ruas dengan 2xy, maka ruas kiri itu menjadi aksen saja,

ruas kanan, suku pertama itu saya punya setengah, y per x dan suku kedua setengah juga,

Nah kita lihat kita bisa mensubstitusi u sama dengan y per x seperti yang kita lakukan sebelumnya.

Kalau kita gunakan u sama dengan y per x, maka y aksen sudah kita dapatkan ya.

Sama dengan u aksen x ditambah u, di ruas kanan saya punya setengah u,

suku kedua saya punya setengah seperu atau seperdua u.

Oke, nah disini saya punya u di ruas kiri saya bawa ke ruas kanan,

lalu saya sederhanakan apa yang saya dapat,

disini ada setengah u dikurang u jadi minus setengah u,

jadi kalau saya keluarkan minusnya dan saya samakan penyebutnya,

saya samakan seperdua u, maka disini adalah u kuadrat plus 1.

Nah kita lihat bentuk ini adalah terseparasi karena ruas kanan lagi-lagi hanya fungsi u saja,

mari kita kalikan kedua ruasnya dengan dx dibagi x dikali u kuadrat plus 1 per 2u,

saya tulis di atas ini, maka hasilnya sekarang ruas kirinya itu hanyalah 2u du dibagi u kuadrat plus 1.

Sedangkan di ruas kanan ini hanyalah minus dx per x, kita integralkan kedua ruas.

Integral ruas kiri tidak terlalu sulit, kita bisa lakukan substitusi biasa,

dengan mudah kita bisa lihat bahwa integral ruas kiri adalah logaritmic,

integral ruas kanan juga berupa ln min ln x plus suatu konsanta integrasi.

Nah disini persamaan diferentialnya tidak dibekali dengan syarat awal maupun syarat batas.

Nah lalu kita tarik eksponensial kedua ruas,

sebelumnya ini bisa saya definisikan C adalah ln A,

inilah ln x pangkat min 1 ditambah ln A, A adalah konsanta,

maka ruas kanan ini bisa ditulis sebagai ln A per x.

Kalau saya tarik eksponen kedua ruas, saya dapatkan disini u kuadrat plus 1 sama dengan A per x.

Kita belum selesai karena kita masih menyatakan di dalam u, kita kembalikan u nya adalah yi per x.

Jadi kalau ini dikembalikan ke yi per x, jadi yi per x kuadrat,

dikurang atau ditambah 1 sama dengan A per x.

Untuk memudahkan mari kita kalikan kedua ruas dengan x kuadrat,

x kuadrat ini menjadi yi kuadrat ditambah x kuadrat ini menjadi Ax saja.

Nah kalau Ax ini saya bawa ke ruas kiri, jadi semuanya saya bawa ke ruas kiri,

saya punya yi kuadrat plus x kuadrat min Ax sama dengan 0.

Nah kalau kita lihat bentuk ini bisa kita nyatakan sebagai bentuk kuadrat sempurna,

dua suku terakhir di ruas kiri dapat saya nyatakan sebagai x min A per 2 kuadrat.

Tapi tentunya kalau x minus A per 2 lalu dikuadratkan akan muncul suku A kuadrat per 4.

Jadi disini ada untuk meng-cancel suku A kuadrat per 4 dari sini sehingga kita dapatkan bentuk tersebut.

Oke, maka hasil akhirnya ini merupakan persamaan x min A per 2 kuadrat sama dengan A kuadrat per 4.

Ini persamanya menggambarkan lingkaran dengan jari-jari di A per 2.