Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas contoh penyelesaian Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 linear dengan koefisien konstan. Solusi umum dari persamaan ini diberikan dalam bentuk superposisi dari dua fungsi eksponensial dengan konstanta integrasi C1 dan C2, di mana akar-akar dari persamaan kuadrat yang muncul menentukan argumen eksponensial. Dengan contoh Persamaan Diferensial Y'' + 5Y' + 4Y = 0, kita faktorkan menjadi (D+3)(D+4)(Y) = 0 dan dapatkan solusi umum Y = C1e^(-4x) + C2e^(-x). Solusi ini didapat dengan memanfaatkan penurunan solusi umum dari dua Persamaan Diferensial Biasa Orde 1.

Di video sebelumnya kita sudah menunjukkan metode mencari solusi umum dari PDB order 2,

yaitu bentuk seperti ini dengan coeffisien linear yang homogen,

kita reduksi menjadi 2 PDB order 1 dengan mendefinisikan operator derivatif D besar.

Kita sudah tunjukkan bahwa solusinya itu diberikan sebagai superposisi dari 2 fungsi eksponen,

C1 dan C2 adalah konsanta integrasi dan eksponennya ini punya argumen A plus dan A minus,

dimana A plus dan A minus adalah akar-akar dari persamaan kwadrat yang muncul terhadap D,

jadi A plus dan A minus ini ditentukan dari nilai coeffisien A2, A1, dan A0.

Mari sekarang kita coba membahas contoh-contohnya.

Misalkan saya punya persamaan diferensial order 2 sebagai berikut,

Y double aksen plus 5 Y aksen plus 4 Y sama dengan 0,

kita ingin mencari apa solusi dari persamaan ini yaitu Y sebagai fungsi X.

Kita lihat bahwa dalam konteks operator D kita bisa faktorkan bentuknya,

pertama kita tulis ini adalah D kuadrat plus 5 D plus 4 bekerja pada Y sama dengan 0.

Dengan kata lain kita lihat bahwa ini kebetulan bisa kita faktorkan dengan mudah,

ini tidak lain daripada D plus 3, D plus 4 maksud saya dan D plus 1.

Anda boleh menaruh disini D plus 1, disini D plus 4 atau sebaliknya seperti yang saya tuliskan.

Selama koeffisiennya konsan maka urutan tidak berpengaruh.

Selanjutnya kita bisa menyelesaikan solusi atau mencari solusi dari 2 PDB urut 1 ini

seperti yang kita bahas di penurunan solusi umum.

Atau kalau kita sudah tahu bahwa solusinya pasti akan mengandung eksponensial

dengan argumennya koeffisien A plus dan A minus,

maka langsung kita bisa juga langsung gunakan solusi umum ini.

Dari sini kita lihat bahwa A plus minusnya ini adalah minus 4 dan min 1.

Minus 4 dan minus 1 maka dengan mudah kita bisa langsung menuliskan bahwa solusi umumnya

adalah C1 konsanta dikali E pangkat min 4X ditambah C2 dikali E pangkat min X.

Inilah solusi umum dari persamaan diferensial berikut.