Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas contoh penerapan Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 pada sistem pegas dengan konsantan pegas dan beban bermassa. Melalui model matematika dari hukum Newton, ditemukan persamaan diferensial order 2 yang menggambarkan osilasi sistem pegas. Dengan menggunakan relasi Euler, solusi umum dari persamaan osilasi pegas dinyatakan sebagai superposisi dari fungsi sinus dan cosinus, menunjukkan bahwa sistem pegas akan bergerak secara sinusoidal atau periodik.

Sebagai contoh selanjutnya saya akan membahas aplikasi di Mekanica, saya punya suatu sistem pegas,

suatu pegas dengan konsanta pegas K ini dihubungkan dengan beban bermasa M,

lalu mereka berada di kondisi yang vakum dan tanpa gesekan.

Kondisi di mana sistem ini statik atau diam itu kita namakan sebagai kondisi equilibrium atau kestimbangan.

Jika kita memberikan simpangan dari kondisi kestimbangan ini katakanlah sebesar X, X arah horizontal,

lalu kita lepaskan kita tahu apa yang terjadi sistem ini akan berosilasi.

Mari kita melihat bagaimana sistem ini berosilasi sebagai solusi dari model matematika sistem ini.

Dari hukum Newton, karena ini Mekanica maka kita mulai dengan hukum Newton,

karena ini satu dimensi geraknya maka saya tidak perlu dipusingkan dengan arah vektornya,

Jadi saya tuliskan bentuk skalarnya saja.

Percepatan di sini saya tulis sebagai X double dot, X adalah posisi pada arah sumbu X,

maka X dot ingat kembali saya membahas bahwa X dot ini artinya adalah turunan terhadap waktu,

jadi saya akan mereserve dot ini sebagai simbol atau notasi turunan terhadap waktu,

maka X double dot ini turunan kedua terhadap waktu.

Jadi percepatan adalah turunan kedua dari posisi terhadap waktu.

Jika tidak ada gesekan ataupun hambatan udara,

maka satu-satunya gaya yang terlibat di sini adalah gaya yang diberikan oleh pegasnya,

Kita tahu bahwa nilainya adalah minus K X,

atau dengan kata lain gaya huk ini selalu linear dengan X

dan arahnya selalu berlawanan arah dengan arah simpangan yang kita berikan, makanya negatif.

Dengan mudah kita bisa tuliskan ini, kita bisa pindahkan semua ke satu ruas

dan kita bagi kedua ruasnya dengan masa, kita dapat persamaan diferensial order 2 sebagai berikut.

Di sini saya memperkenalkan suatu notasi omega, omega kwadrat.

Omega kwadrat ini sebenarnya hanyalah konsanta untuk menulis rasio antara K dan M, yaitu K per M.

Ini persamaan diferensialnya order 2, ini double dot, ini PDB order 2.

Maka solusinya adalah X sebagai fungsi waktu yang memenuhi persamaan ini.

Kita bisa menggunakan metode yang sebelumnya,

kalau saya definisikan ini adalah D per DT,

maka persamaan tersebut bisa dituliskan sebagai D kwadrat plus omega kwadrat bekerja pada X.

Apa akar-akar dari persamaan kwadrat ini?

Kita lihat bahwa persamaan kwadrat ini tidak punya akar-akar yang real,

Saya akan tulis ini adalah I omega minus I omega dengan I adalah akar dari minus 1

Anda bisa buktikan sendiri kalau kita kalikan keduanya,

kedua dalam kurung ini maka kita dapatkan seperti ini.

Dimana I kalau dikalikan dengan diri sendiri atau I dikwadratkan hasilnya adalah minus 1

dari definisi bilangan imajiner itu sendiri.

Dengan kata lain maka akar-akarnya adalah plus I omega dan minus I omega.

Maka saya bisa menuliskan, saya taruh di sini,

solusi umum dari persamaan osilasi pegas ini adalah suatu konsanta saya namakan K1,

E pangkat I omega T plus K2 E pangkat minus I omega T.

Kita punya suatu relasi yang namanya relasi Euler,

Kalau saya punya eksponensial imajiner dari sesuatu katakanlah alpha,

maka menurut Euler eksponensial imajiner ini sama dengan cos alpha plus E sin alpha.

Kalau eksponensialnya minus I alpha maka di sini jadi minus.

Ini adalah yang kita namakan sebagai relasi Euler.

Maka kita gunakan ini untuk mengubah eksponensial I omega T dan eksponensial minus I omega T.

Jadi dengan bantuan relasi Euler kita bisa mengubah ini menjadi cosinus dan sinus,

Anda dengan mudah bisa membuktikan kalau X sebagai fungsi T ini

bisa dinyatakan sebagai superposisi dari fungsi sinus omega T dan fungsi cosinus omega T.

dimana C1 dan C2 ini masing-masing adalah kombinasi dari K1 dan K2.

Jadi inilah solusi umum dari persamaan osilasi pegas

dan kita lihat karena sifat dari fungsi sinus dan fungsi cosinus itu sinusoidal,

periodik, maka sistem pegas ini akan bergerak secara sinusoidal atau periodik.