Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas contoh dinamika gerak benda dalam pengaruh gaya gravitasi, dengan menggunakan persamaan diferensial biasa orde 2 non-linear. Gaya gravitasi Newton bergantung pada massa objek dan jarak kuadrat antara keduanya. Dengan menerapkan hukum Newton, persamaan diferensial ini menggambarkan model matematika dari dinamika gerak bumi dan bulan dalam pengaruh gravitasi. Melalui trik matematika, persamaan diferensial non-linear ini dapat direduksi menjadi persamaan energi, yang menggambarkan kekalan energi kinetik dan potensial dari bulan dalam orbitnya.

Sebagai aplikasi dari solusi persamaan diferensial biasa order 2 non-linear yang spesifik yang kita bahas di pembahasan lalu,

mari kita coba meninjau contoh fizika yaitu dinamika gerak benda dalam pengaruh geografitasi.

Benda di sini bisa berupa benda-benda astronomis, sebagai contoh konkritnya saya meninjau gerak bulan

akibat pengaruh gravitasi dari bumi atau bisa juga kita meninjau gerak bumi dalam pengaruh gravitasi dari matahari.

Di fizika kita tahu gaya gravitasi menurut Newton itu bergantung pada masa dari masing-masing objeknya,

dalam hal ini masanya bulan dan masanya bumi, lalu ada konstanta gravitasi universal,

dan yang lebih penting adalah bahwa gravitasi itu sifatnya inverse square law atau dia adalah gaya yang berbanding terbalik dengan kuadrat jarak.

Jadi gaya gravitasi itu berbanding terbalik dengan jarak kuadrat antara kedua masa tersebut.

Jadi kalau jaraknya dilipat gandakan dua kali, maka gaya gravitasinya akan berkurang menjadi seperempat dari gaya gravitasi awal.

Di sini ada tanda minus karena gravitasi sifatnya atraktif atau saling tarik menarik,

dan karena dia adalah vektor maka kita perlu berikan arah vektor yang arahnya ini sentral,

dalam arti bahwa vektor arah gravitasi itu sebanding atau paralel dengan arah dari vektor posisi benda pertama terhadap benda kedua atau sebaliknya.

Sekarang given this gravitational force, kita akan mencari bagaimana perilaku dari benda dalam pengaruh gaya gravitasi ini.

Jadi kalau saya punya bulan dengan masa sekian dan bumi yang menghasilkan gaya gravitasi dengan masa sekian pula,

saya ingin tahu bagaimana perilaku dari bulan dalam pengaruh gravitasi bumi.

Dengan kata lain, saya ingin mencari pada akhirnya bagaimana lintasan orbit dari bulan dalam pengaruh medan gravitasi bumi.

Kita tidak akan mencari sampai solusi orbitnya, tapi minimal kita bisa meninjau model matematika dari dinamika gerak dua benda tersebut.

Hukum Newton 2 yang mengatakan bahwa jumlah resultan gaya-gaya itu akan sebanding dengan percepatan gerak dari sistem.

Sini karena kita meninjau geraknya bulan, maka masanya adalah bulan.

Saya ambil masa bulan adalah M kecil dan masa bumi adalah M besar.

Di sini karena bulan masanya ini lebih kecil daripada bumi, jadi untuk membedakan saja.

Dan di sini karena bulan bergerak secara umum dalam ruang tiga dimensi, maka saya akan meninjau posisi atau vektor posisinya adalah di ruang tiga dimensi.

Dalam koordinat kartesian kita bisa menyatakannya sebagai X arah I ditambah Y arah J ditambah Z arah K.

Jadi ini adalah vektor posisi dalam ruang tiga dimensi.

Kita masukkan gaya gravitasi ini, anggap jika hanya gaya gravitasi yang bekerja tidak ada gaya-gaya lain,

maka persamaan gravitasinya itu diberikan sebagai berikut.

Kita menggunakan dot karena ini turunan terhadap waktu.

Saya bisa mengekstrakkan keluar basis vektor dari R.

Dari hukum Newton saya bisa tuliskan persamaannya seperti ini.

Karena ruas kiri dan ruas kanan ini sama-sama punya basis vektor yang sama, maka kita tidak perlu dipusingkan dengan arahnya,

Ini persamaan yang akan kita tinjau, jadi ini adalah persamaannya.

Sekali lagi di sini bahwa R double dot ini artinya adalah turunan kedua dari besaran R terhadap waktu.

Kalau kita perhatikan, sebenarnya kita bisa mencoret masa bulan di sini,

tapi saya akan biarkan untuk alasan nanti saya jelaskan.

Kalau kita perhatikan persamaan diferensial ini, ini model matematika dari dinamika gerak dua benda,

dalam hal ini bumi dan bulan, dalam mengaruh medan atau gaya gravitasi.

Model matematika ini membentuk persamaan diferensial.

Biasa, karena pembah bebasnya hanyalah satu yaitu waktu, order dua, dan non-linear.

Kenapa? Karena sekarang yang berperan sebagai fungsi Y di sini adalah R.

R adalah fungsi waktu, dan di ruas kanan fungsi R ini muncul dalam bentuk seperti R kuadrat.

Jadi ini fungsi yang non-linear, yang tidak linear.

Ini adalah contoh dari PDB order dua yang non-linear, meskipun bentuknya spesifik hanya seperti ini.

Kalau kita perhatikan bentuk PDB ini persis sama seperti model matematika yang kita bahas di pembahasan lalu,

sehingga kita bisa menggunakan trik yang sama.

Jadi triknya adalah kita kalikan kedua ruasnya dengan, dalam hal ini R dot.

Dalam hal ini R dot, maka di sini saya punya M dikali R dot, dikali R double dot.

Di ruas kanan saya punya G dikali M besar, dikali M kecil, dibagi R kuadrat, dikali R dot.

Nah, R dot, karena R dot ini adalah, saya tulis di sini saja, turunan pertama R terhadap waktu.

Maka saya bisa memandang suku di ruas kiri ini sebagai turunan total.

Dari, ingat kembali kita punya setengah untuk meng-cancel faktor 2 yang akan turun,

Suku di ruas kiri maksud saya, suku di ruas kanan kita bisa melihat.

Kalau kita perhatikan, pembilang ini semuanya adalah konsanta.

G adalah konsanta gravitasi universal, M besar adalah masa bumi, M kecil masa bulan, dan mereka semua konstan.

Jadi saya bisa isolasi, hanya tulis, kalau saya tulis seperti di sini saja.

Jadi kita meninjau yang fungsi itu hanyalah bagian ini saja.

Nah ini, kita bisa tuliskan juga sebagai turunan terhadap T, turunan total dari apa?

Ini tidak ada lain dari minus seper R atau minus R pangkat, minus R pangkat.

Jadi kedua ruasnya ini bisa dinyatakan sebagai turunan total.

Di ruas kiri saya punya setengah M R dot kuadrat.

Di ruas kanan saya bisa masukkan kembali konsanta ini ke dalam turunan tidak ada masalah.

Nah karena keduanya sudah dalam bentuk turunan total terhadap T,

maka dengan aturan rantai saya bisa kalikan dengan DT dan saya integralkan kedua ruasnya.

Maka ruas kiri adalah diferential total dari sesuatu,

ruas kanan juga diferential total dari sesuatu.

Jadi hasil integralnya sudah simple, saya punya setengah M R kuadrat.

Di sini hanyalah minus G M besar M kecil per R.

Mohon maaf di sini ada plus ya, karena tadi ada minus-minus.

Setelah saya integralkan saya bawa mereka ke ruas kiri saja, jadi saya kumpulkan.

Nah, karena kita integral tak tentu maka ada konsanta, konsantanya saya taruh di ruas kanan.

Jadi inilah hasil integral pertama, ini baru integral pertama,

karena kita mereduksi persamaan diferential order 2 jadi persamaan diferential order 1.

Untuk bisa mendapatkan solusi R sebagai fungsi waktu maka kita lakukan integral lagi atau second integral.

Kita tidak akan lakukan itu, saya hanya ingin menunjukkan di sini bahwa

dengan melakukan trik seperti yang kita bahas,

kita bisa mereduksi PDB order 2 non-linear ini menjadi PDB order 1 linear.

Lebih jauh lagi kita bisa mengidentifikasi apa saja yang di sini.

Kalau kita lihat di ruas kiri ada setengah, ada M, ada R dot.

R dot berarti ada kecepatan dari bulan, lalu dikuadratkan.

Kalau kita lihat ini tidak ada lain daripada energi kinetik.

Apa itu minus G dikali M dikali masanya bulan per R?

Ini tidak ada lain daripada energi potensial yang dimiliki oleh bulan

Jadi persamaan ini sejatinya adalah persamaan energi.

Karena konstan, maka penjumlahan energi kinetik dan energi potensial itu kekal.

Kita bisa definisikan ini sebagai yang kita namakan total energi.

Jadi trik kita itu mereduksi persamaan gerak bulan menjadi persamaan kekalan energinya.