Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas contoh Persamaan Diferensial Bernoulli dalam bentuk Persamaan Logistik (Verhulst), yang merupakan model matematika sederhana untuk pertumbuhan populasi. Melalui transformasi, persamaan logistik yang non-linear dapat diubah menjadi persamaan linear dengan metode faktor integrasi E pangkat integral A DX. Solusi dari persamaan diferensial tersebut adalah Y = A/(B + konsanta integrasi per A * E pangkat minus AX).

Di video sebelumnya kita membahas mengenai persamaan differential non-linear yang kita namakan sebagai persamaan differential Bernoulli.

Bentuk atau struktur dari persamaan differential Bernoulli ini memungkinkan kita untuk melakukan transformasi ke dalam bentuk PDB yang linear

sehingga bisa kita selesaikan lalu kita kembalikan fungsi asalnya seperti apa.

Contoh dari PDB Bernoulli yang bisa kita temui di alam itu misalnya dalam bentuk persamaan logistik

atau di beberapa textbook dikatakan persamaan Verhulst.

Persamaan logistik ini mengambil bentuk seperti ini,

ini merupakan bentuk sederhana dari model matematika untuk populasi manusia misalnya atau pertumbuhan populasi.

Kita lihat disini A dan B adalah dua buah konstanta dan disini ada suku yang non-linear yaitu yang mengandung Y kuadrat atau Y pangkat 2.

Kalau kita ingat kembali ke persamaan Bernoulli untuk melinearkan bentuk ini kita lakukan transformasi Z adalah Y pangkat 1-N

disini dalam persamaan logistik ini N-nya adalah 2 maka saya mengambil Y pangkat 1-2 atau sama dengan Y pangkat min 1

ya maka kalau saya kalikan kedua ruas dari persamaan logistik ini dengan 1-N yaitu min 1

dikalikan Y pangkat minus N atau Y pangkat minus 2 berarti

ruas kiri itu bisa kita tuliskan sebagai minus dari Y pangkat min 2 dikali Y aksen

ruas kanannya ini adalah minus A dikali Y dikali Y pangkat min 2 berarti saya punya Y pangkat min 1

dikurang B saja karena Y pangkat 2 nya tercancel

Nah kalau kita lihat ruas kiri ini dapat kita tulis sebagai Z aksen karena kalau tadi kita definisikan Z seperti itu maka turunan Z terhadap X

itu kita punya min 1 Y pangkat min 2 Y aksen ini persis sama seperti ini

kita bisa tuliskan ini adalah Z aksen ini adalah minus A dikalikan Z saja

maka persamaan nya dalam Z menjadi persamaan yang linear

kalau saya tulis disini menjadi Z aksen plus A Z sama dengan

disini ini dikalikan 1 jadi ini plus ya maaf jadi B saja ini persamaan linear.

Kita selesaikan dengan metode faktor integrasi apa faktor integrasinya kita dapat lihat dengan mudah

faktor integrasinya adalah E pangkat integral A DX karena A adalah konsanta maka faktor integrasi adalah E pangkat AX.

Kalau saya kalikan kedua ruas dengan E pangkat AX maka ruas kiri dari persamaan ini dapat ditulis sebagai turunan total

dari E pangkat AX mengalikan Z sedangkan ruas kanannya adalah B E pangkat AX.

Integralkan kedua ruas saya dapatkan E pangkat AX Z ini adalah suatu konsanta saya namakan konsanta C ditambah

disini ada B per A dikali E pangkat AX atau dengan kata lain saya bagi kedua ruasnya dengan E pangkat AX

saya dapatkan fungsi Z bisa dituliskan sebagai C dikali E pangkat minus AX ditambah konsanta yaitu B per A.

Inilah solusi dari persamaan difrensial tersebut.

Ingat ini belum selesai karena ini masih dalam fungsi Z.

Maka kalau kita lihat Y adalah seper Z maka ini dapat saya tulis sebagai A per disini ada B ditambah konsanta integrasi per A