Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas contoh persamaan diferensial biasa eksak. Persamaan diferensial yang dibahas adalah 3x^2y^2 dy + 2xy^3 dx = -1. Untuk menentukan apakah persamaan ini eksak, kita perlu mengidentifikasi M dan N serta memeriksa apakah memenuhi syarat eksak. Setelah melakukan perhitungan turunan parsial, ternyata persamaan ini eksak. Solusi umum dari persamaan diferensial tersebut adalah F(X, Y) = x^2y^3 + X = C, dimana C adalah konstanta.

Oke mari kita lihat contoh berikut dan kita cek apakah persamaan diferential ini merupakan persamaan diferential yang eksak atau tidak.

Saya punya suatu persamaan diferential 3x2y2 diaksen ditambah 2xy3 sama dengan minus 1.

Ingat kembali persamaan diferential eksak secara umum dinyatakan dalam bentuk seperti ini

dimana M dan Nnya adalah fungsi X maupun Y secara umum.

Dengan kata lain maka untuk menentukan apakah ini persamaan diferential eksak atau tidak

pertama-tama kita harus mengidentifikasi dulu apa M dan Nnya.

Lalu kita cek apakah M dan N itu memenuhi kondisi eksak.

M adalah fungsi yang tidak mengalihkan Y aksen.

Dari sini maka Mnya adalah 2xy3 plus 1 dan N adalah koefisien fungsi yang mengalihkan Y aksen.

Kita sudah punya M dan Nnya sekarang kita akan cek apakah M dan N memenuhi suatu kondisi tertentu.

Ingat kembali syarat perlu dan syarat cukup untuk PDB eksak adalah bahwa turunan parsial M terhadap Y

harus sama dengan turunan parsial N terhadap X.

Coba kita cek turunan parsial dari M terhadap Y.

Kalau saya turunkan M terhadap Y maka saya punya 6xy2 saja.

Sekian pula saya coba cari turunan parsial N terhadap X maka saya dapatkan 6 juga xy2.

Kita lihat ternyata turunan parsial M terhadap Y dan turunan parsial N terhadap X itu nilainya sama yaitu 6xy2.

Dengan kata lain kita bisa menjamin bahwa persamaan ini adalah persamaan diferensial eksak.

Kalau ini adalah persamaan diferensial eksak apa artinya dan bagaimana kita bisa mencari solusinya?

Ingat kalau dia persamaan diferensial eksak maka dia adalah hasil dari diferensial total suatu fungsi permukaan 2 dimensi.

Jadi saya bisa bayangkan ada suatu fungsi permukaan yang saya namakan sebagai fungsi F

yang kalau saya tarik dFnya, F ini fungsi X, Y maka dFnya ini adalah dapat saya tuliskan sebagai

3x2y2dy dari koefisien Nnya plus sini 2xy3 plus 1 dx.

Jadi inilah diferensial total dari fungsi permukaan yang akan mendapatkan kita persamaan diferensial ini.

Lalu sekarang bagaimana cara mencari solusinya?

Kita bisa menggunakan definisi dari doF doX dan doF doY.

Ingat kembali ini dan ini adalah doF doY dan ini adalah doF doX.

Maka mari coba kita cari, kita integralkan F terhadap Y.

Kalau di sini doF doYnya adalah 3x2y2 maka saya bisa mencari F X, Y ini sama dengan integral dari 3x2y2 terhadap Y.

Kita lihat di sini apa yang kita dapatkan?

Integral terhadap Y kita punya x2y3 ditambah satu konstanta.

Konstanta ini tidak bergantung pada Y tapi bisa jadi bergantung pada X karena F adalah fungsi dua variable.

Jadi saya tuliskan saja Knya adalah fungsi X.

Saya juga bisa mengintegralkan F terhadap X.

Kalau saya integralkan F terhadap X maka hasilnya adalah...

Hasil terhadap X adalah di sini saya punya x2y3 plus X plus konstanta lain saya namakan saja C.

C ini bukan fungsi X tidak bergantung pada X tapi C ini bisa jadi bergantung pada Y.

Karena bentuk ini dijamin exact artinya kedua hasil integral ini haruslah sama.

Kita bisa bandingkan suku pertamanya ada.

Dengan demikian maka saya bisa identifikasi K X sebagai X.

Di sini tidak ada lagi fungsi Y selain suku pertama.

Maka saya bisa mengambil kesimpulan bahwa C fungsi Y sama dengan 0.

Maka dengan kata lain solusinya bisa dinyatakan sebagai F X, Y adalah x2y3 plus X.

Nah inilah solusi umum dari persamaan diferensial tersebut.