Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas contoh transformasi Laplace pada fungsi linear, di mana integral dari fungsi tersebut dapat diselesaikan menggunakan metode integral parsial. Dengan mempertimbangkan kompetisi antara fungsi linear dan eksponensial decay, hasilnya menunjukkan bahwa suku pertama dari integral tersebut adalah 0. Hasil akhir dari integral tersebut adalah A per p kuadrat. Metode integral parsial digunakan untuk menyelesaikan kasus fungsi linear ini.

Oke, untuk contoh selanjutnya mari kita meninjau kasus fungsi linier, ya.

Disini fungsi linier berarti bahwa saya punya fungsi polinom dengan order n sama n1, ya.

Secara umum dapat dinyatakan sebagai suatu konstanta dikelilingan x.

Apa yang terjadi ketika kita tarik transformasi Laplace untuk kasus y sama dengan ax ini?

A nya bisa kita keluarkan, ya A nya adalah konstanta bisa kita keluarkan dari integral.

Saya dapatkan integrannya adalah x dikali e pangkat minus px dx, ya.

Nah berarti kita harus menyelesaikan integral ini.

Bagaimana cara kita menyelesaikan integral ini?

Tampaknya ini tidak bisa langsung dikerjakan, ya.

Atau kita bisa melakukan apa yang kita kenal sebagai partial integral, ya integral parsial.

Oke, integral parsial ya kita bisa mencari, kita tahu bahwa

kalau saya punya integral dari fungsi u terhadap v, u dv, maka ini dari batas A sampai B maka saya punya u dikali v dievaluasi pada batas-batasnya dikurang integral v du, ya.

Nah, kita akan menggunakan metode integral parsial seperti ini.

Kalau kita, maka kita bisa mencari apa u dan apa v nya, ya.

Untuk memudahkan saya akan mengambil u nya adalah x, maka du nya adalah dx.

Selanjutnya, dv nya adalah e pangkat minus px dx, maka v nya adalah integral dari ini yang kita dapatkan adalah minus seper p dikali e pangkat min px, ya.

Jadi, kalau kita gunakan metode integral parsial kita bisa dapatkan suku pertama adalah u dikali v yaitu minus x e pangkat min px per p,

ya dievaluasi pada batas-batasnya dari x sama dengan 0 sampai tak berhingga, sampai x sama dengan tak berhingga.

Dikurang, ya. Dikurang integral v du, v du berarti disini ada plus p integral dari 0 sampai tak berhingga.

Oke, nah mari kita evaluasi masing-masingnya, suku pertama, kita lihat suku pertama.

Kalau saya ambil batas bawahnya dulu, x mendekati 0 ini akan mengenolkan seluruhnya, ya.

Nah, sekarang bagaimana kalau x mendekati tak berhingga?

Disini agak tricky, ya, karena ada x mengalirkan eksponensial minus px.

Jadi, kalau saya ambil x tak berhingga, secara naif kita bisa melihat bahwa akan blow up integralnya,

karena disini ada x, sehingga kalau kita set tak berhingga, ya akan tak berhingga.

Tapi, kita patut pahami bahwa disini ada kompetisi, dalam tanda kutip kompetisi.

Kompetisi mana yang lebih kuat, apakah fungsi linier x atau fungsi eksponensial decay

Kalau saya boleh ilustrasikan, fungsi linier itu akan berbentuk seperti ini,

jadi ketika dia, x-nya besar dia akan linier, dia akan divergen atau singular secara linier,

Tapi, eksponensial decay itu bentuknya seperti ini,

jadi apa yang divergen oleh coeffisien x ini akan diimbangi,

dikompensasi dengan peluruhan eksponensial oleh fungsi eksponensial decay ini.

Jadi, dan kita tahu bahwa eksponensial, fungsi eksponensial ini dapat selalu dinyatakan

sebagai deret tak berhingga dari semua polinom argumennya.

Jadi, kalau saya punya e pangkat x, maka ada muncul x, ada muncul x kuadrat, x pangkat 3, dan seterusnya.

Maka dari pertimbangan ini kita bisa melihat bahwa x akan mendekati tak berhingga,

kalah jauh dengan eksponensial mendekati 0.

Jadi, di sini meskipun secara naif kalau kita masukkan limitnya dia akan menuju ke tak berhingga,

Karena di sini kita punya divergensi secara linear,

tapi kita punya konvergensi secara eksponensial,

dan eksponensial ini lebih kuat dalam tanda kutip dibandingkan linear,

Jadi, dengan kata lain maka suku komponen ini seluruhnya 0.

integral ini tidak ada lain daripada min seperp e pangkat minus px.

Kita masukkan batas-batasnya tidak ada masalah di sini,

Jadi, solusinya untuk kasus yang linear ini adalah...

Maaf, saya harus menaruh A di masing-masing suku.