Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas definisi persamaan diferensial, yang merupakan persamaan matematika yang setidaknya mengandung turunan atau derivatif dari suatu fungsi. Persamaan diferensial membedakan diri dari persamaan matematika non-diferensial dengan keberadaan minimal satu suku yang mengandung turunan fungsi terhadap variabel bebasnya. Turunan atau derivatif didefinisikan sebagai limit dari perubahan fungsi terhadap variabel bebasnya saat perubahan variabel mendekati nol. Konsep ini penting untuk memahami kemiringan atau gradien suatu fungsi pada setiap titik, yang akhirnya berkorespondensi dengan derivatif atau turunan dari fungsi tersebut.

Oke, sekarang apa itu contoh dari persamaan diferensial dan apa bedanya persamaan diferensial dengan persamaan matematika lain yang non-diferensial.

Persamaan diferensial adalah persamaan matematika yang minimal salah satu sukunya itu mengandung diferensial atau derivatif atau turunan.

Sebagai contoh saya punya fungsi y yang bergantung pada peubah bebas atau variable bebas x

dan saya simbolkan turunan atau derivatif y terhadap x sebagai y aksen, ini adalah turunan pertama y terhadap x.

Maka persamaan berikut ini merupakan contoh dari persamaan diferensial, kenapa?

Karena minimal ada satu suku yaitu suku pertama dalam hal ini yang mengandung turunan dari fungsi terhadap variable bebasnya.

Kalau kita punya persamaan yang tidak mengandung turunan dari suatu fungsi, maka persamaan tersebut tidak dikategorikan sebagai suatu persamaan diferensial.

Dia bisa berupa persamaan ajabar ataupun persamaan non-diferensial lain.

Mungkin sekedar mereview sedikit ketika saya menyebut turunan atau derivatif.

Di kalkulus kita sudah mengenal konsep ini, jadi saya tidak akan banyak mereview.

Di sini kalau y adalah fungsi x, maka kita definisikan turunan y terhadap x atau derivatif y terhadap x

sebagai limit dari limit delta x mendekati 0.

Delta y adalah y sebagai fungsi x plus delta x, dikurang y sebagai fungsi x, dibagi dengan delta x.

Tafsiran geometrinya kurang lebih sebagai berikut.

Saya punya suatu fungsi y, saya plot fungsi tersebut terhadap x, fungsi y saya gambar dengan warna merah,

maka kemiringan rata-rata atau gradien rata-rata dari fungsi tersebut itu dideskripsikan dengan M.

Saya namakan M, M adalah delta y per delta x.

Kalau saya mengambil selang ini sebagai delta x, maka nilai-nilai fungsi yang berada di selang ini selisihnya adalah delta y,

maka gradien atau kemiringan rata-rata ini diberikan oleh delta y per delta x.

Tapi kita lihat untuk fungsi yang tidak linier, kemiringan ini tidak mendeskripsikan sesuatu apapun pada fungsi tersebut.

Kita lebih tertarik mencari kemiringan pada setiap titik dari fungsi ini,

karena fungsi ini tidak linier maka kemiringannya berubah-ubah.

Jadi kemiringan gradien rata-rata ini tidak memberi informasi yang menarik tentang fungsi kita.

Kita lebih tertarik mencari apa kemiringan atau gradien dari fungsi tersebut di sembarang titik.

Misalnya kita ingin mencari kemiringan di titik ini.

Kita bisa mengambil limit dari gradien tadi,

kita ambil kemiringan rata-rata dengan limit ketika delta x mendekati 0.

Kata lain, yang kita dapatkan adalah suatu garis lurus yang menyinggung kurva tersebut di titik yang kita cari kemiringannya.

Gradien tersebut ketika limit delta x mendekati 0 itulah

yang berkorespondensi dengan derivatif atau turunan dari y terhadap x.