Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas deformasi batang elastik akibat beban seragam dalam konteks rekayasa struktur. Teori elastisitas menyatakan bahwa momen lentur batang sebanding dengan kelengkungan batang, di mana momen lentur disimbolkan sebagai fungsi dari posisi X dan kelengkungan disimbolkan sebagai turunan kedua dari simpangan Y. Dengan menggunakan persamaan diferensial, diperoleh persamaan Euler-Bernoulli untuk deformasi batang akibat beban seragam. Dengan menetapkan syarat batas yang sesuai, solusi umum persamaan diferensial tersebut dapat ditemukan. Deformasi maksimum pada batang terjadi di tengah-tengahnya, di mana lendutan maksimum dapat dihitung dengan rumus yang telah diturunkan.

Baik, sebagai pembahasan terakhir dalam topik PDB Order Tinggi yang Non-Homogene ini,

Kali ini aplikasinya ada pada bidang rekayasa struktur,

yaitu deformasi dari suatu batang elastik atau elastis akibat pembebanan yang seragam atau uniform.

Jadi, kasusnya saya punya suatu batang homogen dengan kata lain masanya terdistribusi merata

Batang ini mengalami deformasi akibat pembebanan atau akibat gaya beban

yang ditimpakan sepanjang-panjangnya ini,

di mana gaya beban eksternal ini besarnya untuk kasus yang akan kita bahas,

momen lentur batang akan sebanding dengan kelengkungan batang.

kalau saya mengambil garis putus-putus ini sebagai sumbu batang,

maka ini sumbu batang ketika tidak mengalami deformasi

dan ini sumbu batang ketika mengalami deformasi.

Di sini karena dia mengalami deformasi maka ada nilai Y yang sebanding dengan X.

Sebelumnya ketika batangnya flat maka batang tidak punya deformasi

dengan kata lain simpangan arah Y nya itu 0.

Kita bisa mendefinisikan kelengkungan itu dari literatur

sebagai Y double aksen per 1 plus Y aksen kuadrat pangkat 3 per 2.

Tapi jika kita meninjau kasus di mana deformasinya kecil

atau dengan kata lain kelengkungannya ini kecil,

maka kita bisa mengaproksimasi kelengkungan ini dengan meninjau Y aksennya cukup kecil

sehingga ini bisa kita dekati dengan Y double aksen saja.

Tadi menurut teori elastisitas momen lentur batang disimbolkan oleh M sebagai fungsi X

Jadi dengan kata lain dia sebanding dengan K atau dengan kata lain sama sebanding dengan Y double aksen.

Konsantra kesebandingannya ini adalah E kali I dimana E itu kita kenal sebagai modulus siang.

Ini adalah modulus siang dan I adalah momen inersia dari batang.

Selain itu teori elastisitas juga mengatakan bahwa derivatif atau turunan kedua dari momen lentur batang

jadi kalau M saya turunkan dua kali double aksen ini akan besarnya sama dengan gaya beban per unit panjang.

Ini adalah persamaan diferensial yang dipenuhi oleh momen lentur sehingga kalau saya gabungkan kedua persamaan ini

saya dapatkan satu buah persamaan diferensial order 4 terhadap Y.

Di sini M sebanding dengan Y double aksen sedangkan M double aksen sebanding dengan F.

Maka kalau saya gabungkan saya punya persamaan berikut seperti ini.

Ini persamaan Euler Bernoulli untuk deformasi batang atau beam.

Sekarang kalau kita meninjau kasus khusus yang sederhana yaitu bebannya ini konstan atau dengan kata lain bebannya uniform

tidak bergantung posisi, jadi nilainya konstan dimanapun maka ruas kanannya adalah konstanta.

Ini membentuk persamaan diferensial biasa order 4, linier secara umum non homogen

Pada kasus gaya beban yang uniform maka ini tereduksi menjadi persamaan diferensial biasa order 4 yang homogen.

Sekarang bagaimana kita menyelesaikannya?

Ini simpel sekali penyelesaiannya karena E, E dan F0 adalah konstanta maka saya bisa bawa semua ke ruas kanan.

Jadi ini hanyalah F0 per E, E dan ini semuanya sama dengan konstanta.

Ini sebenarnya persamaan diferensial meskipun order tinggi tapi sangat sederhana.

Kita bisa integralkan 4 kali untuk dapat solusinya.

Kalau saya integralkan 2 kali maka saya punya, anggaplah ini semua adalah K, saya namakan K, jadi ini K per 2.

Ada X kuadrat plus ini konstanta integrasi yang pertama, X plus konstanta integrasi yang kedua.

Ini solusi integral keduanya, kita butuh integral lebih lanjutnya.

Nah sebelum lanjut kita butuh syarat batas, dalam hal ini kita butuh syarat batas atau boundary conditions.

Apa syarat batas yang kita terapkan untuk kasus ini?

Kita ingin tahu batang ini pada pangkal dan ujungnya itu diberikan syarat apa?

Ada banyak syarat batas yang bisa diterapkan bergantung kasus di lapangan.

Tapi misalnya saya akan mengambil salah satu syarat batas yang cukup umum diterapkan.

Syarat batasnya misalnya adalah Y pada X sama dengan 0.

Sama dengan Y pada X sama dengan L pada ujung, ini sama dengan 0.

Lalu juga saya punya syarat Y double accent pada X sama dengan 0,

sama dengan Y double accent pada X sama dengan L, ini juga sama dengan 0.

Ini salah satu syarat batas yang bisa kita terapkan.

Syarat batas ini langsung dikenal sebagai kondisi yang simply supported.

Tentunya kita bisa mengambil syarat batas yang lain dan syarat batas yang berbeda itu mendeskripsikan situasi

atau konstruksi yang berbeda dari sistem.

Kalau saya terapkan syarat batas ini, saya bisa memfix nilai C1 dan C2.

Sehingga langsung saja saya terapkan itu, maka saya dapatkan Y double accent,

masih dalam bentuk Y double accentnya itu adalah saya bisa keluarkan K per 2 dari X kuadrat min LX.

Saya masih harus integralkan sekali lagi.

Kalau saya integralkan sekali lagi, saya akan dapatkan persamaannya,

Tentunya langsung saja saya terapkan dengan menerapkan syarat batasnya,

maka persamaan solusi umumnya itu dapat dinyatakan sebagai berikut.

Jadi di sini adalah X pangkat 4 minus 2 LX pangkat 3 plus L pangkat 3 X.

Ini solusi uniknya karena kita sudah terapkan syarat batas.

Jadi tidak lagi konsentrasi integrasi di sini.

Sekarang biasanya aplikasinya dari solusi unik ini kita ingin tahu berapa deformasi maksimum.

Dari sini, dari simetri kita bisa melihat bahwa deformasi maksimum terjadi di X sama dengan L per 2

Tepat di tengah-tengah batang itu deformasinya maksimum.

Berapa deformasi di X sama dengan L per 2?

Kita dapat dengan mudah memasukkannya, Y pada X sama dengan L per 2.

Kalau kita masukkan L per 2 dengan perhitungan sedikit, kita bisa hitung bahwa ini sebesar

Inilah deformasi atau lendutan maksimum yang bisa dialami oleh batang pada kondisi beban uniform

dan syarat batas tersebut dan ini terjadi di X sama dengan L per 2.