Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas konsep diferensial total dalam konteks persamaan diferensial. Dalam kalkulus, diferensial menggambarkan perubahan fungsi terhadap variabel bebasnya, baik untuk fungsi satu variabel maupun multivariabel. Turunan parsial diperkenalkan untuk fungsi multivariabel, di mana turunan terhadap satu variabel dilakukan dengan mengasumsikan variabel lain tetap. Penting untuk dicatat bahwa turunan parsial dalam kalkulus selalu komutatif, memungkinkan pengurutan turunan terhadap variabel bebas yang berbeda tanpa memengaruhi hasil akhir.

Mari kita tinjau kembali definisi turunan di kalkulus.

Kalau saya punya suatu fungsi f yang bergantung pada satu variable x,

maka f aksen atau turunan f terhadap x mendeskripsikan garis singgung atau kemiringan dari fungsi f di titik tertentu.

Kalau saya kalikan kedua ruas bersama ini dengan dx, maka saya dapatkan bentuk ini.

Bentuk ini yang kita namakan sebagai diferential f.

Ini adalah derivatif f atau turunan f terhadap x, inilah diferential f.

Dengan aturan rantai saya bisa menyatakan kembali f aksen sebagai df dx,

maka persamaan ini dan ini adalah konsisten.

Ini berlaku di kasus fungsi satu variable.

Sekarang bagaimana kalau saya punya fungsi yang multivariable?

Misalnya begini, saya punya f ini bergantung bukan hanya pada variable x,

tapi ada variable kedua, saya namakan variable y.

Y di sini bukan notasi yang dengan makna yang sama dengan y yang kita bahas di video-video sebelumnya,

Jadi sekarang saya punya suatu fungsi yang bergantung pada lebih dari satu variable atau fungsi multivariable.

Pada kasus ini saya membahas dua variable,

tapi dengan mudah kita bisa generalisir kasus ini untuk lebih dari dua variable.

Sekarang kalau saya ingin menyatakan diferential total dari sistem fungsi seperti ini bagaimana?

Kita bisa berkaca pada kasus fungsi satu variable,

maka di sini tentunya kalau saya tarik diferential f,

tentunya dia akan punya sesuatu mengalihkan d dari variable bebas,

Tapi karena f juga bergantung pada selain x yaitu y,

maka harusnya juga muncul suku yang bergantung pada dy.

Pertanyaan adalah apa koefisien yang memenuhi kondisi-kondisi di sini?

Pada kasus satu variable koefisien itu hanyalah f aksen atau df dx.

Pada kasus lebih dari satu variable kita bisa melihatnya bahwa di sini tentunya juga adalah turunan dari fungsi f terhadap x,

dan di sini turunan dari fungsi f terhadap y.

Di sinilah kita memperkenalkan atau mungkin mereview dari apa yang orang namakan sebagai turunan parsial atau derivatif parsial.

Turunan parsial ini hanya relevan ketika kita berbicara dalam konteks fungsi multivariable atau lebih dari satu variable.

Jadi saya akan simbolkan turunan parsial berbeda dengan turunan biasa atau turunan total,

saya akan menuliskan dengan simbol seperti ini,

Ini didefinisikan sebagai turunan fungsi f terhadap x saja dengan mengasumsikan variable bebas lainnya konstan.

Jadi kita hanya menurunkan terhadap x saja dan variable bebas lainnya tentunya tidak bergantung pada x.

Secara kalkulus secara formal kita definisikan bahwa dof dox ini adalah limit dari delta x mendekati 0

fungsi f x plus delta x, y dikurang f x, y dibagi delta x.

Dan sama kita juga bisa mendefinisikan turunan parsial f terhadap y

dari f x, y ditambah delta y dikurang f x, y dibagi delta y.

Secara formal ini adalah definisi dari turunan parsial

Dengan kata lain maka kita bisa menaruh bahwa disini adalah dof dox, disini adalah dof doy.

Dari kalkulus kita tahu bahwa turunan parsial order 2

dari fungsi yang kontinus itu selalu komutatif.

Artinya apa? Artinya kalau saya punya suatu fungsi f yang bergantung pada x dan y

saya turunkan fungsi f itu terhadap x secara parsial

lalu hasilnya saya turunkan lagi terhadap y seperti ini.

Maka akan sama dengan turunan fungsi f terhadap y dahulu

lalu hasilnya diturunkan lagi terhadap x.

Dengan kata lain turunan parsial itu komutatif dalam ordernya, dalam aturannya.