Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas dinamika populasi dengan menggunakan persamaan diferensial Verhulst, yang menggambarkan pertumbuhan populasi dengan faktor pengereman. Persamaan ini memiliki titik konstan di mana semua solusi konvergen, disebut nilai asimptotik. Selain itu, persamaan Verhulst termasuk dalam kategori persamaan diferensial biasa otonom, dengan titik equilibrium yang dapat diklasifikasikan menjadi stabil dan tidak stabil berdasarkan konvergensi solusi. Melalui analisis akar-akar persamaan, kita dapat memahami perilaku populasi dalam mencapai equilibrium.

Oke, dari contoh sebelumnya kita membahas persamaan Verhulst yang merupakan salah satu contoh dari persamaan diferensial Bernoulli.

Sehingga kita bisa cari solusinya dengan metode yang kita pelajari dari persamaan diferensial Bernoulli.

Persamaan Verhulst itu sendiri bentuknya seperti ini.

Dan kita sedang mendapatkan solusinya dalam bentuk seperti ini.

Dimana A dan B adalah dua buah konstanta yang diberikan dari problemnya dari sistemnya sedangkan C adalah konstanta integrasi.

Kalau kita plot fungsi ini kita akan mendapatkan satu family keluarga dari solusi bersama diferensial

yang berbeda-beda ditentukan oleh konstanta integrasi C.

Saya bisa plot beberapa family of solutionsnya seperti ini.

Dan kita melihat ada satu fenomena menarik dari solusi persamaan Verhulst ini.

Dia punya satu titik konstan dalam Y, nilai Y konstan dimana semua family of solutions itu konvergen pada titik tersebut.

Oke, nilai itu didapatkan dengan mengambil nilai asimptotik dari fungsi solusi Y.

Ketika X mendekati tak berhingga maka Y akan mendekati kita lihat disini Xnya tak berhingga maka suku ini akan menjadi 0.

Kita dapatkan Ynya mendekati suatu nilai konstanta A per B.

Nilai inilah yang menjadi nilai asimptot tersebut.

Semua fungsi solusi Y ini berasimptotik ke nilai A per B.

Ingat kembali bahwa persamaan Verhulst ini mendeskripsikan dinamika populasi atau pertumbuhan populasi.

Yang juga kita katakan pertumbuhan Malthusian.

Kita lihat persamaan Verhulst ini punya dua kontribusi.

Kontribusi dari suku pertama, ini nilainya positif.

Kalau hanya suku pertama yang ada yang survive, suku keduanya 0, maka kita tahu solusi adalah exponential growth atau pertumbuhan eksponensial.

Tapi kita tahu bahwa solusi tersebut umumnya tidak stabil di alam.

Dalam mendeskripsikan populasi manusia, pertumbuhan populasi manusia itu tidak pernah mencapai exponential growth, undefinite.

Karena biasanya selalu ada faktor pengereman.

Selalu ada faktor-faktor yang akan mengerem pertumbuhan eksponensial tersebut.

Faktor tersebut diberikan oleh suku kedua yang nilainya negatif.

Ini yang orang namakan sebagai suku redaman.

Sehingga dengan suku redaman ini, pertumbuhan eksponensial dapat diredam sehingga pada akhirnya pada nilai X asimptotik cukup besar,

Jadi kalau dalam konteks populasi, maka Y menunjukkan jumlah populasi, X menunjukkan waktu.

Seiring dengan waktu, bisa tahun, bisa abad mungkin.

Jadi dengan persamaan ini, maka populasi akan mencapai suatu titik yang orang namakan titik atau kondisi equilibrium.

Persamaan Verhulst ini merupakan satu contoh dari apa yang orang namakan persamaan diferensial biasa otonom.

Bentuk umum dari PDB otonom ini disimbolkan atau dituliskan sebagai, diaksen sama dengan fungsi polinom dari Y.

Bentuk umumnya fungsi Y, seringnya polinom.

Nilai atau akar-akar dari Fy sama dengan 0 ini,

ini yang mendeskripsikan titik equilibrium-nya, titik-titik equilibrium.

Solusi dari persamaan ini merupakan adalah akar-akar, nilai Y yang merupakan akar-akar dari persamaan ini.

Jadi, Y yang merupakan akar-akar dari persamaan ini mendeskripsikan

Misalnya kita mengambil kembali persamaan Verhulst, maka Fy-nya ini bisa kita identifikasi sebagai

Nah, kalau kita ingin mencari akar-akar dari persamaan ini sama dengan 0,

maka kita akan dapatkan akar-akarnya dengan mudah kita lihat bahwa ini adalah Y sama dengan 0

Nah, akar-akarnya juga dinamakan sebagai titik kritis atau critical point.

Jadi, kita punya titik-titik kritisnya adalah Y sama dengan 0 dan Y sama dengan A per B

Lebih jauh lagi akar-akar atau critical point ini,

itu bisa diklasifikasi menjadi stable point dan unstable point.

Jadi, Y0 ini bisa kita klasifikasi sebagai titik yang stabil, titik kritis yang stabil.

Kondisinya jika family of solution ini convergent ke titik tersebut untuk semua C.

Dan kalau itu tidak terpenuhi, maka titik kritis tersebut memenuhi titik kritis yang unstable atau tak stabil.

Jika titik kritis tersebut dengan sedikit gangguan atau dengan sedikit perturbasi

akan membuat solusinya divergent dari titik tersebut.

Jadi, contoh di sini kita melihat ada dua titik kritis yaitu Y sama dengan A per B

dan Y sama dengan 0 untuk kasus persamaan Verhulst.

Maka kita bisa melihat mana yang stabil, mana yang tak stabil.

Titik kritis A per B ini adalah titik kritis yang stabil

karena dia menjadi titik di mana semua family of solution-nya converge.

Sedangkan titik kritis Y sama dengan 0 ini adalah titik kritis yang tak stabil karena dia divergent.

Kita mulai dari titik kritis tersebut, tapi seiring berjalannya waktu atau seiring penambahan X

solusinya menyimpang atau diverge dari titik tersebut.