Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas konsep lintasan ortogonal dalam fisika, khususnya dalam konteks bidang ekipotensial dan garis medan listrik. Dalam menentukan lintasan ortogonal, diperlukan pemahaman tentang persamaan diferensial dan syarat ortogonalitas antara dua kurva. Melalui contoh kasus lintasan parabola, video menjelaskan langkah-langkah untuk menemukan kurva yang ortogonal, yang pada akhirnya ditemukan bahwa keluarga kurva ortogonal terhadap parabola adalah keluarga kurva ellipse.

Dalam fisika, seringkali kita harus mencari satu family atau satu keluarga kurva yang ortogonal terhadap keluarga kurva yang lain.

Seperti misalnya di kasus elektrostatik, saya punya sepasang muatan listrik positif dan negatif.

Kita tahu bahwa kita bisa mendeskripsikan medan listrik yang timbul dengan visualisasi garis-garis gaya atau garis-garis medan listrik.

Garis-garis medan listriknya itu diilustrasikan oleh lintasan-lintasan berwarna merah.

Keluar dari muatan positif dan masuk ke muatan negatif diantaranya.

Dari sini kita bisa bertanya bidang ekipotensial atau bidang-bidang atau lintasan-lintasan yang dimana setiap titiknya itu memiliki nilai potensial listrik yang sama.

Bagaimana menentukan bidang ekipotensial jika kita tahu garis-garis medan listriknya?

Dari fisika kita tahu bahwa bidang ekipotensial adalah bidang yang tegak lurus dengan garis medan listrik atau kurva medan listrik.

Dengan kata lain, dari keluarga kurva garis medan listrik yang kita punya, kita bisa menggambarkan keluarga kurva ekipotensial yang masing-masing itu tegak lurus dengan setiap garis medan listrik.

Keluarga kurva ekipotensial ini saya ilustrasikan dengan garis warna kuning.

Kalau kita perhatikan maka masing-masingnya ini harusnya tegak lurus dengan setiap garis medan listrik.

Pertanyaan adalah bagaimana kita menentukan keluarga kurva yang seperti itu.

Dalam literatur ini dinamakan sebagai lintasan yang ortogonal.

Bidang ekipotensial adalah lintasan ortogonal terhadap garis medan listrik dan juga sebaliknya.

Kita tahu dari pembahasan mengenai persamaan diferensial bahwa satu set keluarga kurva atau family of curves itu bisa dideskripsikan dalam bentuk persamaan atau solusi dari persamaan diferensial.

Jadi katakanlah saya punya satu persamaan diferensial.

Maka solusi dari persamaan ini mendeskripsikan satu set keluarga kurva.

Kalau saya ingin bertanya apa satu set keluarga kurva lain yang tegak lurus atau ortogonal dengan solusi dari persamaan diferensial ini.

Dari kalkulus kita tahu bahwa agar kita punya kondisi yang ortogonal.

Maka gradien dari kurva yang merah dan kurva yang kuning haruslah bersifat perpendicular atau ortogonal juga.

Dan itu memenuhi perkalian gradiennya sama dengan minus satu.

Dari situ kita bisa meninjau kalau saya punya persamaan diferensial yang solusinya mendeskripsikan satu persamaan kurva.

Maka jika saya ingin mencari kurva lain yang tegak lurus dengan persamaan kurva tersebut.

Saya bisa mendefinisikan satu set persamaan diferensial lain.

Katakanlah saya namakan ini misalnya Z sama dengan seperti ini.

Atau mungkin saya namakan saja dengan Y tapi Y nya berbeda dengan sebelumnya.

Maka agar solusi dari persamaan kurva ini tegak lurus atau ortogonal dengan solusi persamaan kurva di atas.

Saya syaratkan dari kalkulus kita tahu bahwa gradiennya harus memenuhi kondisi seperti ini.

Sehingga ketika gradien atau kemeningan dari persamaan satu dikalikan gradien dari persamaan dua.

Itu adalah syarat bagi lintasan yang ortogonal.

Mari kita coba terapkan untuk kasus seperti ini.

Kita tahu kurva parabola itu diberikan oleh konsanta dikalikan X kuadrat.

Keluarga kurva ini diparameterisasi oleh nilai konsanta C.

Saya ingin mencari kurva apa atau kontur apa yang tegak lurus atau ortogonal dengan keluarga kurva parabola saya.

Maka saya akan pertama kali mengubah persamaan parabola ini menjadi suatu persamaan diferensial yang bisa dinyatakan dalam bentuk seperti ini.

Saya dapatkan di aksen ini sama dengan dua C X.

Agar bisa ditulis dalam bentuk seperti ini, maka saya substitusi Y ke sini.

Maka saya bisa tuliskan bahwa dua C dikali X itu sama dengan dua Y per X.

Maka untuk mencari ortogonal trajektorinya saya akan mendefinisikan satu persamaan diferensial lain yang gradiennya minus seper dari ini.

Dengan kata lain saya mensyaratkan bahwa gradiennya harus min X per 2Y.

Kita tahu kalau ini dikalikan dengan ini hasil ruas kanan adalah min 1.

Nah sekarang tinggal pertanyaannya adalah apa solusi dari persamaan diferensial ini?

Kita bisa lihat dengan mudah 2Y, Y aksen sama dengan minus X.

Kalau saya kalikan kedua ruasnya dengan DX, maka saya dapatkan di sini 2Y DY sama dengan minus X DX.

Saya integralkan kedua ruasnya karena ini sudah dalam bentuk yang terseparasi.

Dengan mudah kita dapatkan, saya tulis di sini bahwa tidak ada setengahnya, ini adalah Y kuadrat.

Sama dengan integral ini min setengah X kuadrat tambah satu konsanta.

Kalau saya bawa X ke ruas kiri agar persamaan ini mendeskripsikan suatu kurva dengan lebih eksplisit.

Saya bisa tuliskan ini adalah Y kuadrat plus X kuadrat per 2 sama dengan konsanta.

Nah persamaan kurva apa yang dideskripsikan oleh bentuk ini?

Kita tahu bahwa bentuk ini merupakan bentuk dari kurva seperti ini.

Artinya kita lihat kalau saya bagi kedua ruasnya dengan C,

maka di sini koefisien A dan B tidak sama.

Dan ketika A tidak sama dengan B, ini tidak lain daripada kurva ellipse.

Dengan kata lain, family kurva yang ortogonal terhadap parabola adalah family kurva ellipse.

Dan itu saya ilustrasikan dengan lintasan yang berwarna kuning.