Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas metode koefisien tak tentu dalam persamaan diferensial biasa orde 2 dengan fungsi eksponen. Penyelesaian kasus mencakup pengambilan koefisien yang mengimitasi fungsi b, di mana pada contoh tertentu diperoleh solusi partikular e pangkat 2x dengan nilai koefisien 7 per 18. Solusi umumnya adalah kombinasi dari fungsi eksponen dengan koefisien yang telah ditentukan sebelumnya.

Sekarang bagaimana kalau fungsi b nya adalah fungsi eksponen.

Secara umum fungsi eksponen dapat ditulis seperti ini ya, suatu konstanta dikali e pangkat cx.

Sebenarnya eksponen sih tidak perlu, tidak harus berupa fungsi x pangkat 1 ya,

tapi untuk memudahkan pada kasus ini kita akan membatasi pada e pangkat x saja ya.

Nah disini kita lihat ada koefisien dari x nya, dari argumen eksponennya yaitu c.

Kita akan lihat nanti bahwa solusinya itu akan bergantung jenis c nya ini apa.

Untuk lebih jelasnya mungkin sekaligus saja kita langsung masuk ke dalam contoh ya,

kita bahas metode-metodenya dengan contoh ya.

Ini contoh yang baru tapi dengan ruas kiri yang sama dengan sebelum-sebelumnya.

Saya punya y double aksen plus 5y aksen plus 4y sama dengan ruas kanannya adalah 7 dikali e pangkat 2x.

Kalau kita ingat ruas kirinya ini bisa kita faktorkan d min 4, d min 1.

Artinya apa? Artinya sekarang a plus nya bisa saya ambil 4,

a minus nya bisa saya ambil 1 atau sebaliknya ya tidak ada masalah.

Pokoknya ada 2 akar salah satunya 4, salah satunya 1.

Nah disini berarti kita punya kasus bahwa akar-akarnya real dan berbeda untuk kasus homogen.

Sekarang kita punya c, kita lihat c adalah 2.

Kita lihat sekarang bahwa c itu tidak sama dengan a plus dan juga tidak sama dengan a minus.

Ini adalah kasus pertama yang akan saya bahas, kasus dimana c tidak sama dengan a plus dan juga c tidak sama dengan a minus.

Kalau ini terjadi maka bagaimana penyelesaiannya?

Sama seperti kasus sebelumnya kita bisa mengambil y p nya suatu fungsi yang mengimitasi fungsi b.

Jadi saya ambil saja ini a gitu ya, e pangkat, nah karena disini c nya tidak sama dengan baik a plus maupun a minus,

jadi langsung saja a dikali, e pangkat 2x.

Jadi ini fungsi ini mengimitasi fungsi b.

Kalau saya turunkan saya punya 2a, e pangkat 2x, turunan sekali lagi saya akan dapatkan 4a, e pangkat 2x.

Nah a adalah koefisien yang akan kita tentukan dan a ini bisa jadi 7, bisa juga bukan.

Jadi kita tidak mengimitasi a ini dengan koefisien di depan bx nya, tapi kita mengimitasi fungsi nya.

Oke kalau kita masukkan ke dalam persamaan maka saya punya 4a, e pangkat 2x ditambah 5 dikali 2a,

berarti 10a, e pangkat 2x ditambah 4 dikali a, e pangkat 2x.

Ini semuanya sama dengan 7, e pangkat 2x.

Maka sekarang saya punya 4a ditambah 10a ditambah 4a, saya punya 18a, itu harus sama dengan 7.

Oke maka inilah solusi partikular dari contoh berikut ya, dimana inilah 7 per 18, e pangkat 2x.

Dan kata lain, solusi umumnya adalah e pangkat minus 4x, e pangkat minus x plus 7 per 18, e pangkat 2x.