Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas osilasi terpaksa pada persamaan diferensial biasa orde 2 non-homogen, dengan pegas sistem yang terhubung dengan mesin penggerak. Terdapat gaya eksternal periodik yang memberikan simpangan kepada sistem pegas, umumnya berbentuk sinusoidal. Dengan mempertimbangkan hukum Newton, solusi partikular dari persamaan diferensial ini dapat ditemukan dengan pendekatan yang lebih umum. Melalui analisis yang cermat, solusi akhir untuk osilasi terpaksa adalah F0 per M dikali omega 0 kuadrat minus omega kuadrat dikali cos omega T. Penemuan ini didasarkan pada relasi Euler yang memungkinkan penulisan solusi kompleks dalam bentuk trigonometri, memperoleh solusi akhir yang merepresentasikan osilasi sistem secara periodik.

Baik, sebagai contoh aplikasi dari PDB order 2 yang non-homogen kita bisa meninjau lagi-lagi fenomen oscillasi.

Tapi kali ini sistem pegasnya ini selain terdiri dari pegas dan beban masa maka masanya ini dihubungkan dengan suatu mesin.

Semacam driving machine atau driving force yang mesin ini akan memberikan simpangan kepada sistem pegas secara berkala atau secara periodik.

Jadi kita asumsikan di sini ada gaya driving, ada gaya pemberi eksternal yang akan memberikan simpangan kepada sistem pegas.

Gaya eksternalnya sebenarnya bebas bisa berupa apapun, tapi yang paling banyak di aplikasi di alam maupun di rekayasa itu umumnya gaya eksternalnya

Dengan kata lain dia mengambil fungsi sinus ataupun kosinus.

Fenomena ini yang kita kenal dengan nama forced oscillation atau terjemahannya mungkin oscillasi terpaksa.

Kembali kita selalu mulai dari hukum Newton untuk kasus mekanika.

Kalau kita asumsikan kita bisa meninjau kasus yang undamping, yang tidak ada damping.

Jadi di sini seandainya tidak ada mesin eksternal maka oscilasinya adalah oscillasi harmonik.

Pada kasus oscillasi harmonik maka gaya yang bekerja hanyalah gaya pemulihnya yaitu minus kx.

Tapi karena sekarang ada gaya eksternal maka kita harus masukkan juga ke dalam sini.

Ini akan sama dengan m dikali x double dot.

Kalau saya sederhanakan dengan menaruh semuanya di satu ruas.

Jadi saya punya x double dot ditambah omega 0 kuadrat x.

Ini sama dengan F0 per m dikali cos omega t.

Sebelum saya lanjutkan perlu saya jelaskan beberapa hal dulu di sini.

Pertama F0 adalah amplitude dari simpangan periodik yang diberikan oleh mesin eksternal.

Kedua saya punya dua jenis omega di sini.

Ada omega saja ini adalah notasi yang saya gunakan untuk mendeskripsikan frekuensi sudut dari sistem mesin ini.

Jadi mesin ini bekerja secara periodik dengan frekuensi tertentu yang diberikan oleh omega.

Omega 0 adalah frekuensi alami dari sistem yang kita biasa tulis sebagai rasio k per m.

Jadi di sini ada dua jenis omega di sini adalah k per m.

Di sini adalah frekuensi eksternal yang tidak ada hubungan dengan sistem.

Kita lihat ini adalah bentuk PDB non homogen.

Dengan fungsi B, fungsi non homogen itu bentuknya sinus ataupun kosinus.

Kalau kita mau tuliskan maka kita bisa tuliskan ini sebagai D plus E omega 0.

Bekerja pada X ini sama dengan F 0 per m dikali kos omega T.

Kita tahu ruas kirinya dipenuhi oleh solusi homogen jika ruas karena 0.

Jadi Y hanya, maaf kita pakai notasi X, X hanya bagi fungsi T adalah solusi sinusoidal.

Solusi partikularnya kita lihat bentuknya adalah kos.

Kita di pembahasan video sebelumnya kita belum membahas contoh solusi partikularnya

kalau fungsi B nya adalah sinus atau kosinus.

Kita bisa saja menerapkan ini langsung dengan metode koefisional tentu

kita bisa menebak misalnya solusi partikularnya juga dalam bentuk sin atau kos.

Tapi di sini sekalian dalam membahas contoh osilasi terpaksa

saya akan mengajak kalian untuk meninjau bentuk atau ansas yang lebih general.

Jadi alih-alih kita meninjau persamaan diferensial ini

Mari kita meninjau satu persamaan diferensial yang lain yang saya namakan sebagai berikut.

Ini X besar double dot ditambah omega 0, omega 0 kwadrat sama.

X besar ini sama dengan saya tuliskan adalah F0 per M dikali E pangkat I omega T.

Jadi ini adalah suatu persamaan diferensial yang berbeda bentuknya dengan PDB ini

terutama berbeda pada fungsi non homogenenya.

Jadi alih-alih mencari solusi ini bagaimana kalau kita meninjau kasus ini dulu.

Kita meninjau kasus ini dulu, kita cari solusi X besarnya sebagai fungsi T.

Karena kita sudah membahas kasus ini di video sebelumnya.

Kalau contohnya adalah fungsi B nya adalah fungsi eksponen.

Ini adalah fungsi eksponen, eksponen ini adalah eksponen imaginer.

Pertama-tama di sini akar-akarnya adalah A plus dan A minus nya adalah plus minus I omega 0.

Akar-akar dari persamaan dari ini adalah I omega 0 dan minus I omega 0.

Karena saya tidak menyamakan omega 0 dan omega maka kita punya kasus yang pertama.

Kasus dimana C nya tidak sama dengan A plus maupun tidak sama dengan A minus.

Karena itu maka kita bisa mengambil ansat solusi X besar P adalah

untuk konstanta dikali E pangkat I omega T saja.

Kalau yang kita ambil turunannya adalah plus I omega A E I omega T.

Turunan keduanya turunkan lagi saya punya minus omega kwadrat A E I omega T.

Jadi saya masukkan ini ke sana mungkin lebih tepatnya saya pakai dot agar konsisten.

Agar konsisten dengan persamaan di awal maka saya masukkan di sini saya punya

minus omega kwadrat plus omega 0 kwadrat ini sama-sama mengalihkan A E pangkat I omega T.

Ruas kanannya adalah F 0 per M mengalihkan E pangkat I omega T.

Kita lihat kita bisa cancel eksponensial I omega T nya dan kita ingin mencari A nya.

Maka A nya adalah F 0 per M dikali omega 0 kwadrat minus omega kwadrat.

Dengan kata lain maka XP nya adalah F 0 per M omega 0 kwadrat minus omega kwadrat

Motivasi awal kenapa kita meninjau persamaan ini adalah dari relasi Euler

bahwa E I omega T itu dapat ditulis sebagai cos omega T plus E sin omega T.

Karena kalau kita sudah tahu solusi dari persamaan ini

maka saya bisa tahu solusi dari persamaan tersebut untuk ruaskanannya sin maupun cos.

Jadi dengan sekali mendayung dua pulau terlampaui.

Jadi kata lain kalau kita masukkan ke dalam, kita coba tulis di sini.

Kalau kita masukkan solusinya, jadi X P ini adalah fungsi yang kompleks.

Dan kita akan melihat solusinya cos ini adalah fungsi yang bagian yang real

atau bagian yang kompleks dari I omega T.

Cos adalah bagian yang real dari I omega T.

Oleh karena itu maka kita bisa mencari di sini fungsi asli yang ingin kita cari.

Solusi asli yang ingin kita cari adalah X kecil sebagai fungsi T

maka ini tidak ada lain daripada F0 per M omega 0 kuadrat minus omega kuadrat dikali cos omega T.