Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas solusi PDB Euler-Cauchy dengan akar-akar kembar. Dengan menggunakan ansas polinomial, kita dapat menemukan akar-akar persamaan kuadrat untuk menentukan M. Ketika akar-akar M+ dan M- sama, kasus ini terjadi saat suku dalam akar kuadrat adalah 0, dengan B bernilai 1.4 x A-1 kuadrat. Solusi Y1 diperoleh sebagai konstanta dikali X pangkat 1-A per 2, sedangkan solusi independen Y2 ditemukan menggunakan reduction of order dengan fungsi U sebagai integral dari eksponensial minus integral P dibagi Y1 dikuadratkan. Dengan demikian, solusi umum dari persamaan Euler-Cauchy dengan akar-akar kembar adalah B ditambah A lon X dikali X pangkat 1-A per 2.

Oke, di pembahasan sebelumnya kita membahas mengenai cara mencari solusi PDB Euler-Cauchy.

Ide nya adalah dengan mengambil ansas bahwa Y itu dalam fungsi polinom X pangkat M.

Kalau kita masukkan ke dalam persamaan nya, maka kita dapat menentukan M.

M adalah akar-akar dari persamaan kuadrat yang dapatkan dan akar-akarnya seperti ini.

Nah, mirip seperti pada kasus PDB dengan coeffisien constant,

kita bisa bertemu dengan kasus dimana akar-akarnya ini kembar dengan kata lain M+, sama dengan M-.

Kalau kita lihat dari bentuk akar-akar umum ini, maka M+, sama dengan M- itu terjadi ketika suku dalam akar kuadrat ini 0.

Jadi dengan kata lain, saya punya B nya itu haruslah bernilai 1.4 x A-1 kuadrat.

Jadi kalau B disini nilainya adalah 1.4 x A-1 dikuadratkan, maka disitulah saya punya kasus akar yang kembar.

Jadi mari kita coba tinjau secara eksplisit.

Pada kasus ini, maka persamaan diferensial Cauchy-Euler menjadi seperti ini.

Nah, kalau akarnya kembar, maka satu-satunya kemungkinan,

solusi yang kita dapatkan dari ansas tersebut, saya namakan Y1,

adalah suatu konsanta dikali X pangkat 1-A per 2.

Ini solusi satu, kita perlu mencari solusi independen yang lain.

Tidak bisa kita dapatkan dari sini karena akarnya kembar.

Maka kita bisa menggunakan reduction of order yang sudah kita bahas di beberapa pertemuan sebelumnya.

Kita bisa membayangkan ada solusi kedua, Y2,

yang dikonstruksi dari perkalian suatu fungsi, fungsi U, dengan solusi pertama.

Kita sudah tahu solusi pertamanya seperti itu,

maka kalau kita kalikan dengan fungsi U, kita asumsikan, kita harapkan ini adalah Y2.

Sekarang pertanyaannya tinggal apa fungsi U?

Kita sudah pernah bahas fungsi U ini, U kecil,

ini adalah integral dari fungsi U yang besar.

Fungsi U yang besar itu tiada lain dari eksponensial minus integral P,

dx, dibagi dengan fungsi Y1, yang sudah kita ketahui dikuadratkan.

Jadi kalau kita tahu P-nya, maka kita secara prinsip bisa mendapatkan solusi U-nya.

Dan dari solusi U kita mendapatkan solusi Y2.

Nah sekarang untuk bisa mendapatkan P, ingat kembali P itu adalah koefisien dari Y aksen,

ketika Y double aksen itu koefisiennya 1.

maka saya harus bagi kedua ruas ini dengan X kuadrat dahulu.

Jadi kalau saya bagi kedua ruas dengan X kuadrat, saya dapatkan A per X.

Y aksen plus B per X kuadrat Y sama dengan 0.

Nah inilah yang kita identifikasi sebagai fungsi P.

Maka eksponensi atau kita integralkan dahulu ya,

Ini solusinya adalah A dikalikan log lon X.

Atau ini sama dengan lon dari X pangkat A.

Oke inilah argumen dari eksponen, fungsi eksponennya.

E pangkat minus integral P DX ini berarti E pangkat lon seper X pangkat A.

Ini tidak lain daripada seper X pangkat A.

Kita sudah punya ini, kita bisa kuadratkan ini.

Jadi U sebagai fungsi X adalah integral dari,

seper X pangkat A mengalihkan X pangkat 1 min A DX.

Di sini A nya cancel, jadi saya punya DX per X,

Jadi inilah fungsi U nya, fungsi U nya adalah lon X.

Maka Y1 nya tadi adalah konsanta, saya namakan DX pangkat 1 min A per 2.

Maka solusi total, solusi umumnya adalah B dikali ditambah,

saya tuliskan seperti ini, A lon X mengalihkan X pangkat 1 min A per 2.

Inilah solusi umum dari persamaan Euler-Cauchy kalau akarnya kembar.