Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas persamaan diferensial Bernoulli, sebuah jenis PDB non-linier order 1 yang dapat diselesaikan dengan metode faktor integrasi. Persamaan ini memiliki syarat bahwa pangkat N harus selain 0 dan 1 untuk tetap non-linier. Melalui transformasi substitusi dengan Z sebagai fungsi baru dari Y pangkat 1-N, persamaan non-linier ini dapat diubah menjadi PDB linear dalam fungsi Z. Dengan metode faktor integrasi, solusi Z sebagai fungsi X dapat ditemukan, kemudian dikembalikan ke Y sebagai fungsi X untuk mendapatkan solusi umum dari PDB Bernoulli.

Oke, di video sebelumnya kita sudah membahas teknik faktor integrasi yang merupakan powerful technique

untuk mendapatkan solusi umum dari PDB order 1 yang linier.

Dengan kata lain, selama PDB order 1 nya itu linier, maka faktor integrasi, teknik faktor integrasi itu selalu bisa dilakukan.

Nah, kalau kita kembali ke pembahasan beberapa pertemuan lalu, bahwa PDB atau PD yang non-linier itu umumnya selalu lebih sulit untuk dicari solusinya.

Dan bukan hanya itu, sejauh ini juga tidak ada solusi umum untuk seluruh jenis persamaan diferensial yang non-linier.

Jadi, untuk tahu apakah persamaan diferensial non-linier ini punya solusi atau tidak, kita harus meninjau kasus per kasusnya.

Di beberapa pertemuan sebelumnya, kita lihat bahwa beberapa bentuk persamaan diferensial yang non-linier,

PDB maksud saya yang non-linier, order 1 itu bisa diselesaikan dengan separasi variable ataupun mungkin dengan diferensial eksak.

Di pertemuan kali ini, kita akan mencoba membahas satu jenis PDB non-linier, order 1, dengan bentuk non-linieritas yang spesifik.

Dan karena spesifik bentuk itu, maka persamaan ini bisa diselesaikan dengan metode faktor integrasi yang sudah kita pelajari sebelumnya.

Nah, PDB non-linier order 1 ini dikenal dengan nama persamaan diferensial Bernoulli.

Kalau kita lihat ruas kirinya ini persis sama seperti bentuk umum PDB linier yang kita bahas.

Hanya saja sekarang suku Qx ini mengalihkan fungsi Y yang dipangkatkan dengan N.

Dan di sini N-nya tidak boleh bernilai 0 atau 1.

Karena kalau dia bernilai 0, maka PDB ini terdeduksi menjadi PDB yang linier, non-homogen.

Kalau N-nya 1, maka saya bisa kumpulkan ruas kanan ini ke ruas kiri dan persamaan ini menjadi PDB linier yang homogen.

Jadi syarat agar persamaan ini menjadi persamaan diferensial Bernoulli bahwa N-nya itu bernilai selain 0 dan selain 1.

Bisa pecahan, bisa nilai negatif, tapi tidak 0 dan 1.

Kalau dia tidak 0 dan 1, maka bentuknya ini jelas non-linier karena ada faktor non-linier di sini.

Jadi pangkat N ini adalah faktor non-liniernya.

Kita perlu melakukan transformasi atau substitusi.

Z fungsi X ini adalah suatu fungsi baru yang di definisikan sebagai Y fungsi X pangkat 1-N.

Jadi saya mendefinisikan fungsi Z sebagai fungsi baru dari Y pangkat 1-N.

Dengan kata lain saya bisa menuliskan Y adalah Z pangkat seper 1-N.

Jadi di sini kalau saya turunkan kedua ruasnya, jadi saya mencari Z aksen.

Dengan kata lain Z aksen adalah turunan Z terhadap X.

Maka apa yang saya dapatkan di sini saya punya 1-N.

Lalu di sini ada Y pangkat 1-N-1 berarti tinggal Y pangkat-N lalu dikalikan Y aksen.

Sekarang kalau saya kembali ke persamaan di atas, saya simpan dulu hasil Z aksen tadi.

Kalau saya kalikan kedua ruasnya dengan 1-N dikali Y pangkat-N maksud saya.

Oke, 1-N dikali Y pangkat-N maka ruas kiri itu menjadi sebagai berikut.

Di sini ada 1-N dikali P, dikali Y, dikali Y pangkat-N berarti saya punya Y pangkat-1-N.

Sedangkan di ruas kanan itu hanyalah Q, dikali Y pangkat-N, dikali Y pangkat-N.

Nah kita lihat bahwa suku pertama di ruas kiri ini tidak lain daripada Z aksen.

Sementara suku keduanya ini Y pangkat-1-N ini tidak lain daripada Z.

Jadi dengan transformasi Z sama dengan Y pangkat-1-N itu

men-transformasi PDB non-linear ini menjadi PDB yang linear dalam fungsi Z.

Jadi sekarang saya punya PDB-nya adalah Z aksen ditambah konsanta 1-N

mengalihkan P fungsi X dikali Z sama dengan 1-N.

Nah ini adalah persamaan diferensial biasa order 1 linear dalam fungsi Z.

Jadi saya men-transformasi bentuk ini menjadi bentuk ini.

Setelah kita dapatkan bentuk ini dengan mudah kita bisa solve, kita bisa cari solusinya.

Z sebagai fungsi X dengan metode faktor integrasi yang sudah kita bahas di pertemuan lalu.

Solusinya ini dengan metode faktor integrasi.

Tapi ini belum selesai karena baru kita dapatkan solusi Z sebagai fungsi X.

Yang ingin kita cari adalah Y sebagai fungsi X.

Persamaan awalnya adalah Y sebagai fungsi X solusinya.

Maka setelah saya dapatkan Z sebagai fungsi X, saya kembalikan Y sebagai fungsi X dengan transformasi ini.

Setelah ini didapatkan, maka inilah solusi umum dari PDB Bernoulli tersebut.