Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas persamaan diferensial biasa orde 2 linear nonhomogen dengan fokus pada kasus di mana koefisiennya konstan. Dalam penyelesaiannya, terdapat perbedaan antara PDB orde 2 homogen dan nonhomogen, di mana yang nonhomogen memerlukan reduksi menjadi dua PDB orde 1 nonhomogen. Metode faktor integrasi digunakan untuk menyelesaikan kedua persamaan tersebut. Solusi umum dari PDB orde 2 nonhomogen adalah superposisi dari solusi homogen dan solusi partikularnya.

Oke, marilah kita sekarang mempelajari kasus PDB odoh 2 yang non-homogen.

Seperti pada kasus yang homogen, kita akan banyak memfokuskan dahulu pada kondisi di mana

koefisiennya konstan, dengan kata lain A2, A1, dan A0 nya konstan, bukan fungsi X,

tapi BX nya tidak 0 dan diperbolehkan tidak konstan.

Mungkin ada baiknya kalau kita kembali mereview ingatan kita mengenai solusi untuk kasus yang homogen,

kalau B nya 0 maka solusinya secara umum bisa dituliskan sebagai konstanta dikaitkan eksponensial

dengan argumen eksponensialnya adalah akar-akar dari A2, A1, dan A0.

Nah, coba sekarang kita lihat apa yang terjadi kalau sekarang di ruang kanannya tidak 0.

Jadi BX ini adalah koefisien yang tidak mengalihkan fungsi Y maupun turunan dari fungsi Y.

BX ini atau ruang kanan ini murni hanyalah fungsi X saja.

Kita masih bisa menerapkan metode yang kita gunakan di kasus homogen,

yakni dengan mendefinisikan operator turunan maka bersama ini bisa kita tuliskan sebagai

Yang katakan ruas kirinya persis sama kita bisa lakukan faktorisasi.

Nah, maka sama seperti pada kasus sebelumnya dengan mendefinisikan suatu fungsi U.

Dimana U didefinisikan sebagai D-Amin yang bekerja pada Y.

Jadi kalau kita mendefinisikan fungsi U sebagai operator D-Amin yang bekerja pada Y.

Maka kita bisa menuliskan 1 persamaan diferensial biasa order 2 non-homogen ini

menjadi 2 persamaan diferensial order 1 yang juga non-homogen.

Jadi perbedaan antara PDB order 2 yang homogen dan non-homogen itu terletak pada reduksi order 1.

Pada kasus yang PDB order 2 non-homogen maka kedua PDB order 1 juga non-homogen.

Dengan kata lain perbedaannya terletak hanya pada penggunaan teknik mencari solusi PDB order 1.

Sekarang secara umum keduanya ini kemungkinan akan memerlukan metode faktor integrasi untuk menyelesaikannya.

Oke, mari kita coba lihat kasus pertama yaitu ini.

Jika kita diketahui B-nya, fungsi B-nya maka jelas persamaan pertama ini bisa diselesaikan.

Persamaan pertama ini bisa kita selesaikan.

Ini adalah u aksen minus A plus u sama dengan B.

Dengan faktor integrasi yang berupa E pangkat minus A plus X.

Sehingga ruas kirinya dapat ditulis dalam bentuk E pangkat minus A plus X mengalikan u.

Ruas kanannya adalah E pangkat minus A plus X kali B.

Nah dari sini kalau kita integralkan kedua ruasnya dengan separasi variable.

Saat ini kita tidak tahu integralnya karena kita belum spesifikasi apa fungsi B-nya.

Jadi secara umum solusi untuk u adalah suatu konsanta mengalikan E pangkat A plus X.

Di sini tadi yang di ruas kiri ada E pangkat minus A plus X kali u.

Lalu kedua ruasnya saya bagi dengan E pangkat minus A plus X.

Sehingga muncul di ruas kanan bentuk E pangkat plus A plus X.

Nah di sini saya punya E pangkat A plus X juga.

Dan di sini ada integral E pangkat minus A plus X mengalikan BX DX.

Selain kita dapatkan kita masukkan ke persamaan yang kedua.

Jadi saya simbolkan saja persamaan ini dengan fungsi B besar.

Apapun isinya dia adalah hanya fungsi X saja.

Jadi sekarang kita masukkan ke dalam persamaan yang kedua.

Maka saya punya di persamaan kedua ini E aksen min A min Y.

Sama dengan u yang adalah CE pangkat A plus X tambah fungsi B besar X.

Sama seperti sebelumnya ini bisa kita selesaikan dengan metode faktor integrasi.

Kalikan kedua ruasnya dengan E pangkat minus A min X.

Maka di sini kita dapatkan dari E pangkat min A min X kali Y.

Di sini kita punya CE pangkat A plus min A min X plus E pangkat min A min X mengalikan fungsi B besar X.

Sama seperti sebelumnya kita lakukan integral sekali lagi.

Kita lakukan integral sekali lagi dan kita dapatkan E pangkat minus A min X mengalikan Y.

K1 konstanta 1 plus K2 E pangkat A plus min A min X.

Bentuk yang ketiga ini saya belum bisa integralkan secara eksplisit karena kita belum tahu bentuk fungsi B.

Dimana K2 ini adalah definisi saya untuk konstanta C per A plus min A minus.

Nah K1 adalah konstanta integrasi yang kita dapatkan dengan mengintegralkan ini.

Maka di sini kita dapatkan Y nya adalah K1 E pangkat A min X plus K2 E pangkat A plus X plus E pangkat min A min X mengalikan ini semua.

Oke inilah solusi umum dari PDB order 2 yang non homogen.

Sebagai penutup saya akan mengangkat aspek yang menarik di sini.

Kalau anda perhatikan dua suku pertama dari solusi umum tersebut tiada lain dari adalah solusi umum untuk kasus yang homogen.

Jadi dengan kata lain solusi PDB non homogen itu secara umum dapat selalu ditulis sebagai solusi yang homogennya.

Ditambah suku yang muncul karena adanya fungsi non homogen.

Nah ini kita namakan sebagai solusi yang partikular.

Jadi secara umum solusi umum dari PDB non homogen adalah penjumlah atau superposisi dari solusi homogennya dan solusi partikularnya.