Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas persamaan diferensial biasa orde 2 yang non-linear homogen. Meskipun secara umum persamaan diferensial orde 2 non-linear tidak memiliki solusi umum, namun untuk kasus tertentu solusinya dapat ditemukan. Dengan trik tertentu, persamaan orde 2 non-linear dapat direduksi menjadi persamaan orde 1 yang lebih mudah diselesaikan. Melalui proses reduksi ini, persamaan non-linear orde 2 dapat disederhanakan menjadi persamaan non-linear orde 1. Analisis struktur persamaan ini dapat memberikan informasi kualitatif yang berharga tanpa perlu mencari solusi spesifik.

Sejauh ini pembahasan kita mengenai PDB order 2 hanya dibatasi pada kasus yang linier.

Ini tidak mengherankan karena memang di awal pembahasan tentang order 2,

saya sudah mengatakan bahwa bahkan untuk order 1 pun sistem persamaan diferensial

atau persamaan diferensial yang non-linier itu tidak punya solusi umum.

Dan kesulitannya lebih tinggi dibandingkan yang linier.

Maka sifat ini pun terbawa sampai ke order 2 dan bahkan order yang lebih tinggi.

Di order 2 bahkan yang linier pun tidak punya solusi umum apalagi yang non-linier.

Tapi kadang di PDB order 2 muncul problem-problem yang pemodelan matematikanya

berupa persamaan diferensial yang non-linier dan untuk bentuk-bentuk spesifik tertentu

persamaan diferensial non-linier ini bisa diselesaikan atau bisa dicari solusinya.

Saya akan mengambil satu contoh saja dari persamaan diferensial biasa order 2

yang secara umum non-linier dengan bentuk spesifik tertentu yang bisa kita kerjakan

Tinggal persamaan diferensial order 2 berikut,

ingat disini y adalah fungsi x seperti sebelum-sebelumnya,

Disini ada fungsi y dan fungsi y ini bisa berbentuk apapun selama dia bergantung pada y.

Ini jelas suku yang menyebabkan persamaan diferensial ini non-linier.

Ini contoh dari persamaan diferensial order 2 yang non-linier

tapi tidak mengandung kebergantungan terhadap variable bebas x secara eksplisit

surprisingly kita bisa mereduksi, minimal mereduksi persamaan diferensialnya dari order 2 menjadi order 1.

Karena kita tahu mencari solusi PDB order 1 itu selalu lebih mudah dibanding PDB order 2

maka usaha mereduksi PDB order n ke order yang lebih rendah

itu selalu diapresiasi, selalu berguna atau bermanfaat.

Nah sekarang mari kita tinjau bentuk spesifik ini,

bagaimana kita mereduksi PDB order 2 ini menjadi PDB order 1,

idenya atau triknya adalah sebagai berikut.

Kita kali kedua ruasnya itu dengan y aksen.

Kalau kita perhatikan disini tidak ada suku yang mengandung y aksen secara eksplisit muncul.

Jadi ini turunan order 2, disini adalah suku y itu sendiri tidak mengandung turunan

Jadi ini non-linier terhadap y tapi tidak terhadap turunan y.

Kalau kita kalikan kedua ruasnya seperti ini ruas kanannya akan tetap 0,

ruas kiri kita punya y aksen, y double aksen, disini ada kali y aksen, ini sama dengan 0.

Bagaimana selanjutnya, oke kita coba lihat bentuk ini.

Kita lihat bentuk yang suku pertama dulu di ruas kiri.

Kalau kita perhatikan, kalau kita pikirkan sedikit lebih dalam,

kita bisa melihat bahwa bentuk ini itu bisa kita dapatkan sebagai turunan terhadap x

Contoh dengan kata lain kalau saya balik, kalau saya punya y aksen kuadrat

lalu saya turunkan y aksen kuadrat ini terhadap x, bukan terhadap y tapi terhadap x

maka saya punya 2 turun ke bawah, maka untuk meng-cancel 2 itu saya perlu memberikan

Lalu 2 jadi y aksen, lalu turunan dari y aksen itu sendiri terhadap x y itu y double aksen.

Jadi saya bisa menuliskan y aksen y double aksen sebagai suatu turunan total.

Jadi idenya mengubah bentuk ini menjadi turunan total.

Karena kalau kita punya turunan total, maka kita bisa melakukan separasi variable.

Nah, di sisi lain dengan mengalikan y aksen disini saya punya bentuknya adalah

f fungsi y yang saya masih belum spesifikasi, jadi biarkan general seperti itu ada dy dx.

Sekarang kedua suku di ruas kiri ini sudah dalam bentuk d sesuatu per dx,

jadi saya bisa gunakan aturan rantai ya, kalikan kedua ruasnya dengan dx,

maka saya dapatkan bentuknya adalah sebagai berikut.

D setengah y aksen kuadrat ditambah fy dy sama dengan 0.

Kalau kita perhatikan ini sudah dalam bentuk yang terseparasi,

terseparasi di mana disini suku pertama adalah turunan total,

Sehingga kalau saya integralkan kedua ruasnya saya dapat dengan mudah evaluasi hasilnya.

Di ruas kiri suku pertama integral dari differential total adalah fungsi yang di differential totalkan itu sendiri.

Jadi ini hanyalah setengah y aksen kuadrat.

Di suku kedua karena saya belum spesifikasi apa itu fy nya,

maka saya biarkan dalam bentuk integral fy dy.

Tapi secara prinsip integral ini selalu bisa dilakukan

karena ini seluruhnya integrannya adalah fungsi y dan integralkan terhadap y.

Sebagai konstante integrasi saya akan oper konstante integrasi ke kanan untuk memudahkan penulisan saja,

Kita lihat persamaan ini seluruhnya order paling tinggi adalah order satu.

Jadi kita sudah bisa mereduksi pdb order dua yang non linear dengan bentuk spesifik non linearitasnya seperti ini

menjadi pdb order satu yang juga non linear.

Tentunya untuk mencari solusi y nya sekali lagi kita perlu menintegralkan sekali lagi.

Kadang dalam aplikasinya kita tidak perlu sampai mencari solusinya secara spesifik,

cukup dengan menganalisis struktur dari persamaan ini kita bisa mendapatkan informasi kualitif yang berharga.