Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas konsep Persamaan Diferensial Biasa Eksak, dimana persamaan diferensial dalam bentuk M dan N harus memenuhi kondisi komutatif agar disebut sebagai persamaan eksak. Dalam kasus fungsi permukaan, persamaan diferensial eksak dipenuhi saat turunan parsial terhadap M terhadap Y sama dengan turunan parsial terhadap N terhadap X. Dengan memenuhi kondisi ini, pencarian solusi untuk persamaan diferensial eksak menjadi lebih mudah.

Dari pembahasan video sebelumnya kita tahu kalau f adalah suatu fungsi multivariable dalam hal ini dua variable

maka diferensial total f dinyatakan dalam bentuk seperti ini.

Nah jika f merepresentasikan suatu fungsi permukaan surface function

ya maka tentunya dari kalkulus pula kita tahu kalau f x, y ini memenuhi konstan sama dengan c konstanta

ini adalah bentuk umum dari fungsi permukaan.

Nah kalau dia adalah fungsi permukaan maka diferensial totalnya adalah 0

kalau saya tarik diferensial total kedua ruasnya saya punya

f do f do x dx ditambah do f do y dy sama dengan 0 karena konstanta kalau kita tarik diferensialnya adalah 0.

Oke jadi untuk kasus fungsi permukaan kita punya kondisi seperti ini

kalau sekarang saya kalikan kedua ruasnya atau saya bagi kedua ruasnya dengan dx

dengan aturan rantai maka disini saya punya do f do x ditambah do f do y

dy per dx ini saya tuliskan sebagai y aksen ini sama dengan 0.

Untuk memudahkan saya akan definisikan apa yang dalam kurung ini dan itu sebagai suatu fungsi sendiri

jadi saya akan namakan ini sebagai M secara umum bergantung pada x dan y

dan ini adalah N secara umum juga bergantung pada x dan y.

Kalau saya definisikan do f do x itu sebagai fungsi M dan do f do y sebagai fungsi N

maka persamaan ini terlihat menjadi semacam persamaan diferensial.

Persamaan diferensial yang tentunya dipenuhi oleh fungsi permukaan.

Kalau kita menemukan suatu persamaan diferensial dalam bentuk seperti ini

dimana ada relasi antara M dan N maka persamaan diferensial itu punya istilah sendiri.

Persamaan diferensial seperti ini dengan M di definisikan seperti itu dan N seperti itu

ini yang kita namakan sebagai persamaan diferensial eksak.

Jadi saya punya persamaan diferensial eksak.

Apa yang menjamin bahwa persamaan diferensial ini eksak?

Dalam kalkulus kita tahu bahwa syarat cukup dan syarat perlu

necessary and sufficient conditions agar suatu persamaan diferensial itu adalah suatu persamaan eksak

adalah bahwa M dan N ketika kita turunkan secara parsial sekali lagi itu harus komut.

Karena kita tahu bahwa turunan parsial itu komutatif

maka sekarang kita bisa menarik turunan terhadap M dan turunan terhadap N.

Ingat kembali syarat kondisi komutatif yang dipenuhi oleh turunan parsial

maka sekarang kalau saya turunkan M terhadap Y

dan saya turunkan N terhadap X keduanya haruslah sama.

Kondisi inilah yang menjamin persamaan diferensial yang kita temukan dalam bentuk seperti ini

Kalau kondisi ini terjamin dan persamaan diferensial eksak

maka kita punya kemudahan dalam mencari solusi.

Di contoh berikut kita akan melihat bagaimana kita menangani persamaan diferensial yang eksak.