Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas teknik reduksi order pada persamaan diferensial biasa orde 2. Konsep ini digunakan untuk mencari solusi independen kedua saat terdapat akar-akar kembar pada persamaan. Dengan menggunakan metode reduksi order, solusi kedua dapat ditemukan dengan mengasumsikan solusi baru sebagai hasil perkalian fungsi u dengan solusi pertama yang sudah diketahui. Selanjutnya, persamaan yang dipenuhi oleh fungsi u disederhanakan sehingga menjadi persamaan diferensial orde 1. Dengan menggunakan metode separasi variabel, solusi untuk u ditemukan, yang pada akhirnya akan memberikan solusi kedua dari persamaan diferensial tersebut. Metode ini dikenal sebagai cara untuk mendapatkan solusi linear independen lainnya.

Sebelum kita masuk ke pembahasan PDB yang non-homogene untuk oda 2,

saya akan menyinggung sedikit mengenai teknik mencari solusi independen yang lain

jika misalnya kita punya akar-akar yang kembar.

Pada kasus akar-akar yang kembar, di kasus coefficient constant kita sudah bahas cara mendapatkannya.

Teknik yang kita bahas itu merupakan subtopik dari apa yang orang namakan reduction of order atau reduksi order.

Secara umum reduksi order ini adalah sebagai berikut,

kalau kita punya suatu persamaan differential biasa order 2,

tapi saya sudah tuliskan dalam bentuk seperti ini sehingga coefficient di depan double aksen ini 1,

px adalah fungsi x saja, qx adalah fungsi x saja,

Jika misalnya kita mengetahui satu solusi dari persamaan ini,

katakanlah y sama dengan y1 ini adalah fungsi x adalah solusi.

Jadi kita ingin mencari solusi independen yang lain,

atau dalam kata lain katakanlah somehow persamaan ini punya akar-akar yang kembar,

sehingga solusi y1 adalah solusi dengan akar yang kembar tadi.

Tentunya kita ingin butuh solusi kedua yang independen.

Kita bisa menggunakan metode reduksi order ini.

Jadi idenya adalah kalau saya mengetahui satu solusi,

maka saya bisa asumsikan atau saya bisa mengambil asumsi bahwa solusi kedua,

Jadi asumsikan y2 solusi yang lain adalah u dikali solusi y1,

yang sudah kita tahu bahwa dia memenuhi persamaan ini.

Dengan kata lain kalau saya tulis ini y1, y1, y1, maka terpenuhi kondisinya.

karena sama-sama masing-masingnya adalah fungsi x,

maka ini menjadi u aksen y1 ditambah u y1 aksen.

Begitu pula kalau saya turunkan dua kali,

maka saya punya dua u aksen y1 aksen plus u y1 double aksen.

Maka kalau kita masukkan bentuk turunan kedua, turunan pertama,

dan fungsi y2 ini ke dalam persamaan ini,

masukkan ke dalam persamaan ini maka kita akan dapatkan bentuknya agak panjang.

Di sini u aksen, u double aksen maksud saya,

maka ini adalah u aksen y1 plus u y1 aksen,

maka saya bisa dapatkan bentuk seperti ini.

Saya bisa kumpulkan dalam order derivatif u,

lalu u aksen itu bisa saya kumpulkan di mana saja,

Jadi saya punya u aksen mengalihkan 2y1 aksen,

lalu order derivatif 0 dari u atau u saja,

Jadi persamaan tersebut saya nyatakan dalam bentuknya lebih sederhana.

itu tiada lain daripada persamaan yang dipenuhi oleh y1.

karena y1 adalah solusi dari persamaan tersebut,

dan ini tiada lain daripada persamaan tersebut.

Maka ini menyederhanakan problem kita sekarang,

Jadi persamaan differential yang dipenuhi oleh fungsi u,

agar y2 ini juga menjadi solusi bagi persamaan differential awal adalah seperti ini.

Kita lihat ini persamaan differential yang dipenuhi oleh u,

tapi di sini tidak ada suku, tidak ada lagi suku u yang tidak diturunkan.

Jadi saya bisa misalkan, saya bisa definisikan misalnya

u besar, ini saya definisikan sebagai u kecil aksen,

maka konsekuensinya u besar aksen adalah u kecil double aksen.

persamaan differential ini menjadi persamaan differential order 1.

Jadi ini bisa dituliskan sebagai u besar aksen,

u besar aksen y1 ditambah u besar mengalihkan,

saya bisa bagi kedua ruasnya dengan y1 untuk memudahkan,

jadi di sini saya bagi dengan y1, ini bisa saya hapus saja.

maka semua koefisien yang mengalihkan suku u ini adalah fungsi x saja.

Maka kita bisa menyelesaikan persamaan differential ini dengan separasi variable.

saya bisa tuliskan langsung saja dengan metode separasi variable yang kita sudah familiar.

Saya bisa pisahkan seperti ini, ruas kirinya seperti ini,

ruas kanannya saya bisa tuliskan minus dari semua dalam kurung ini,