Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas solusi Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 dengan akar-akar kompleks. Dengan diskriminan kurang dari nol, akar kompleks didefinisikan sebagai alfa dan beta. Solusi umumnya adalah kombinasi sinus dan cosinus, di mana YX = K1 cos beta X + K2 sin beta X. Implementasi relasi Euler memungkinkan penyederhanaan solusi menjadi bentuk tersebut.

Oke, sebagai klasifikasi ketiga kita akan melihat bagaimana kalau kita punya akar-akar dengan diskriminannya kurang dari nol.

Diskriminan kurang dari nol berarti A1 kuadrat ini kurang dari 4A2 A0.

Nah, di pembahasan video sebelumnya kita lihat bahwa konsekuensinya bahwa akar-akarnya ini kompleks.

Untuk melihat bahwa akarnya kompleks mari kita definisikan dua buah bilangan saya namakan alfa.

Ini alfa berbeda dengan A, alfa ini saya definisikan sebagai minus A1 per 2A2.

Dan saya definisikan beta ini sebagai atau beta kuadrat, saya namakan ini beta kuadrat.

Beta kuadrat ini adalah A0 per A2 dikurang A1 kuadrat per 4A2.

Saya ingin menyatakan A plus dan A minus dalam alfa dan beta.

Kita bisa lihat ya dari definisi ini, maka A plus minus, mungkin saya tulis di bawah saja.

A plus minus, kita lihat suku pertamanya adalah minus A1 per 2A2, itu tidak lain daripada alfa.

Nah kalau saya bawa 2A2 ini ke dalam akar, jadi saya bagi dalam akarnya dengan 2A2,

maka saya punya bahwa akarnya ini tidak lain, isinya adalah akar dari minus beta kuadrat.

Karena ini adalah minus beta kuadrat kalau saya bagi kedua sukunya dengan 2A2.

Maka sekarang saya bisa menuliskan A plus dan A minus ini sebagai alfa plus minus.

Ingat kembali akar dari bilangan negatif adalah I, bilangan negatif 1 adalah I.

Jadi bilangan kompleks adalah bilangan yang berupa kombinasi linear,

secara umum berupa kombinasi linear dari bilangan real dan bilangan yang imajiner.

Kalau kita punya akar-akar yang kompleks seperti ini, maka apa konsekuensinya?

Maka konsekuensinya sekarang Y sebagai fungsi X ini kalau kita tuliskan C1E pangkat A plus,

A plus adalah alfa plus I beta, jadi ini adalah alfa plus I beta,

Y adalah C1E pangkat alfa plus I beta, mengalikan X,

ditambah C2E pangkat alfa minus I beta, mengalikan X.

Ini bisa kita sederhanakan, masing-masing sukunya ini mengandung E pangkat alfa X.

Jadi saya bisa keluarkan E pangkat alfa X,

ini mengalikan C1E pangkat I beta X, ditambah C2E pangkat minus I beta X.

Dengan menggunakan relasi Euler, relasi Euler adalah sebagai berikut,

kalau saya punya E pangkat plus minus imaginary I beta katakanlah,

maka ini sama dengan cos beta plus minus I sin beta.

Maka saya bisa masukkan ke sini, saya bisa masukkan ke situ,

YX adalah E pangkat AX, disini ada C1 cos beta X plus I sin beta X,

ditambah C2 cos beta X minus I sin beta X.

Kita bisa mengumpulkan mana yang real dalam hal ini realnya adalah cos beta X dengan sesamanya,

dan mana yang imaginary dalam hal ini adalah I sin beta X dengan sesamanya.

kalau saya kumpulkan yang real dengan yang real, saya punya ini saya ganti dengan konsanta yang baru,

K1 cos beta X ditambah K2 sin beta X, inilah solusi umumnya,

disini K1 adalah C1 ditambah C2 dan K2 ini adalah redefinisi dari I C1 dikurang C2.

Inilah solusi umum dari persamaan differential biasa order 2 kalau akar-akarnya kompleks,

kita bisa nyatakan dalam bentuk sinus dan cosinus.