Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas tentang model matematika persamaan diferensial pada kasus tangki air yang bocor. Dengan memanfaatkan hukum Torricelli dan hukum kekekalan energi, kita dapat memodelkan kecepatan air yang mengalir keluar dari lubang bocor sebagai fungsi waktu. Persamaan diferensial order 1 yang dihasilkan menjelaskan dinamika pengurangan ketinggian air dalam tangki seiring waktu. Konstanta K dalam persamaan tersebut bergantung pada karakteristik geometris tangki dan lubang bocor.

Sebagai contoh kedua, saya akan mengambil kasus yang juga kita biasa temui di kehidupan sehari-hari, yaitu tangki air yang bocor.

Kita punya satu tangki air dengan luas penampang, saya namakan B.

Pada satu titik tangki air ini, dengan ketinggian tertentu dari dasar, tangki air ini punya lubang.

Dengan luas penampang lubangnya diberikan oleh A, maka akibat lubang ini akan terjadi kebocoran.

Ada air yang mengalir keluar dengan kecepatan tertentu, kecepatan V.

Karena adanya air yang terbuang, maka ketinggian air di dalam tangki ini lama-kelamaan akan berkurang.

Saya bisa mendefinisikan H sebagai ketinggian air dalam tangki dari permukaan sampai ke titik A.

Tentunya H ini adalah fungsi waktu, karena seiring waktu semakin banyak air yang keluar, H ini akan berubah.

Bagaimana kita memodelkan ini sebagai suatu model matematika persamaan diferensial?

Kita tahu dari hukum Torricelli bahwa saya bisa mencari berapa kecepatan muncrat atau mengalirnya air di titik A ini.

Kita bisa hitung dari hukum kekekalan energi biasa bahwa V ini hanyalah akar 2G dikali H.

Karena H adalah fungsi waktu, maka V pun jadi juga fungsi waktu.

Di lain pihak, kita tahu bahwa volume air ini kekal.

Artinya kalau volume air yang mengalir keluar, ini saya namakan delta V besar untuk membedakan dengan kecepatan yang V kecil.

Delta V besar adalah volume air yang muncrat atau mengalir keluar dari lubang bocor A.

Kita tahu bahwa volume itu adalah luas penampang dikalikan dengan kecepatan mengalirnya dikalikan dengan durasi waktunya.

Di sisi lain, volume air yang terbuang keluar ini haruslah sama dengan volume air yang berkurang.

Di dalam tangki, maka volume air dalam tangki itu karena dia mengalami pengurangan maka nilainya negatif.

Volume air yang berkurang dalam tangki itu adalah luas penampang tangki dikalikan ketinggian tangki dari titik lubang bocornya.

Kalau saya samakan kedua persamaan volume ini, maka saya dapat relasi bahwa B minus B dikali delta H tersama dengan A.

Saya masukkan Vnya, Vnya adalah akar 2GH dikali delta T.

Kalau saya bagi kedua ruasnya dengan delta T dikalikan minus B, maka di ruas kiri saya punya delta H per delta T.

Di ruas kanan, saya punya minus A dikali akar 2G per B.

Hnya saya sengaja keluarkan, saya tulis H tangkat setengah.

Kalau kedua ruasnya ini saya ambil limit ketika jeda waktunya mendekati 0, maka ruas kirinya menjadi suatu bentuk turunan.

Di sini saya dapatkan dH dt adalah suatu konstanta minus, saya namakan saja konstantanya K dikali H tangkat setengah.

Di mana K adalah akar 2G dikali luas penampang lubang bocor dibagi dengan luas penampang tangki.

Nah persamaan ini mendeskripsikan suatu persamaan diferential order 1 yang menggambarkan dinamika dari tangki yang bocor.