Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas teknik faktor integrasi pada Persamaan Diferensial Biasa Orde 1. Persamaan tersebut memiliki bentuk umum dengan koefisien A1, A0, dan B yang harus berupa fungsi X. Untuk mencari solusi umum, kita menggunakan teknik separasi variabel dengan membagi persamaan tersebut dengan A1. Fungsi faktor integrasi, disebut mu, harus memenuhi syarat tertentu agar persamaan dapat diselesaikan. Dengan identifikasi kondisi yang tepat, faktor integrasi dapat dituliskan sebagai E pangkat integral P X DX, yang memungkinkan persamaan menjadi soluble. Dengan menggunakan faktor integrasi yang tepat, kita dapat mencari solusi dari Persamaan Diferensial Biasa Orde 1.

Setelah kita berkenalan dengan PDB order 1 yang linier maka mari kita sekarang mencoba untuk mencari solusi umumnya.

Seperti yang sudah kita bahas di video sebelumnya bahwa bentuk paling umum dari PDB order 1 linier adalah sebagai berikut.

A1 adalah koefisien mengalihkan Y aksen, A0 adalah koefisien mengalihkan Y.

Keduanya haruslah fungsi X saja paling umum, tidak bisa fungsi Y.

Dan di sini ada koefisien B yang juga fungsi X yang menentukan derajat homogenitas dari PDB tersebut apakah homogen atau non-homogen.

Agar PDB ini bisa dikatakan order 1 maka fungsi A1 tidak boleh 0.

Sekarang bagaimana kita mencari solusi umum dari bentuk PDB ini?

Kita bisa belajar dari teknik separasi variable yang sudah kita pelajari sebelumnya.

Jadi idenya adalah bagaimana kita bisa menjadikan PDB ini sebagai bentuk yang terseparasi.

Meskipun secara original bentuk ini tidak terseparasi ketika B tidak 0.

Jadi pertama-tama untuk bisa membawa ke bentuk terseparasi saya akan bagi kedua ruas persamaan ini dengan A1.

Dan karena A1 tidak boleh 0 maka pembagian ini menjadi well defined.

Maka di sini saya bisa tuliskan Y aksen mengalihkan saya tulis P sebagai fungsi X dan ini adalah Q sebagai fungsi X.

Dimana di sini PX tentunya adalah A0 per A1 dan Q adalah B per A1.

Kita kan selalu bertitik polak dari bentuk seperti ini.

Jadi kalau kita bertemu dengan bentuk umum maka agar metode yang akan kita namakan teknik faktor integrasi ini bekerja maka pertama kali kita harus bawa dalam bentuk seperti ini.

Lalu selanjutnya idenya adalah saya ingin mengalihkan kedua ruas dari persamaan ini dengan suatu fungsi saya namakan fungsi mu.

Mu adalah fungsi X juga dan mu ini yang kita akan identifikasi sebagai faktor integrasi.

Yang kalau kita kalikan dengan fungsi mu ini maka ruas kirinya kita harapkan bisa ditulis dalam bentuk seperti ini.

Jadi kita berharap ruas kirinya bisa ditulis dalam bentuk seperti ini dan tentunya ruas kanannya juga mengalihkan mu.

Kita belum tahu mu ini fungsi seperti apa itu yang akan kita cari.

Jadi bentuk dari fungsi faktor integrasi itu yang kita cari tapi kita inginkan bahwa mu itu bersifat seperti ini di ruas kiri ketika dikalikan.

Kenapa kita inginkan seperti ini karena jelas bentuk inilah bentuk yang sudah bisa kita lihat terseparasi.

Kalau kita kalikan kedua ruasnya dengan dx maka kita lihat bahwa ruas kiri itu bisa dinyatakan sebagai suatu diferensial total.

Dari perkalian dua buah fungsi dan ruas kanan itu juga hanyalah fungsi X saja.

Maka metode separasi variable dapat kita lakukan disini atau ini sudah terseparasi.

Karena kalau kita integralkan kedua ruasnya maka ruas kanan semuanya integrannya fungsi X diintegralkan terhadap X.

Ruas kiri adalah bentuk diferensial total yang kalau kita integralkan tentunya kita tahu hasilnya adalah apa yang diferensialkan itu saja.

Jadi dengan kata lain di ruas kiri kita dapat tuliskan seperti ini dan di ruas kanan kita dapat tulis saya namakan suatu konsanta C konsanta integrasi.

Kita belum tahu apa bentuk integral ini karena kita belum tahu apa fungsi mu dan apa fungsi X.

Jadi bentuk integral ini kan bergantung pada bentuk spesifik dari kedua fungsi tersebut.

Bentuk seperti ini sudah dalam bentuk yang solusi.

Jadi kita mencari Y sebagai fungsi X maka kita bagi kedua ruasnya dengan faktor integrasi.

Maka saya punya suatu konsanta dibagi dengan mu X ditambah.

Pertanyaannya sekarang adalah apa bentuk fungsi mu yang memenuhi sifat tersebut?

Kita bisa melihat mu ini bentuknya seperti apa dengan mengidentifikasi kedua kondisi ini.

Ini dikalikan mu itu harus sama dengan tersebut.

Jadi kalau boleh saya tuliskan mu dikali Y aksen ditambah P mu Y itu harus sama dengan turunan mu dikali Y.

Atau kalau saya jabarkan ini menjadi mu aksen Y ditambah mu Y aksen.

Kita bisa lihat bahwa ini bisa kita cancel.

Maka dari sini saya punya relasi mu aksen dikali Y atau saya bawa ke ruas kiri.

D mu DX dikali Y itu harus sama dengan P mu dikali Y.

Dengan kata lain kalau saya bisa menghapus Y nya maka ini adalah relasi yang harus dipenuhi oleh mu.

Ini sudah dalam bentuk separasi variable maka mu sebagai fungsi X ini adalah

Kalau anda lihat dengan mudah separasi variable menunjukkan bahwa ini bisa dituliskan sebagai E pangkat integral P X DX.

Tentunya di sini ada konstante integrasi.

Suatu konstante kita bisa masukkan maupun kita tidak harus masukkan kita bisa set konstante 1.

Inilah faktor integrasi yang kita butuhkan untuk membuat persamaan diferensial biasa 1 ini menjadi soluble.

Jadi faktor integrasi bergantung pada apa fungsi P nya.

Di kesempatan berikutnya kita akan tunjukkan contoh bagaimana menggunakan metode faktor integrasi ini untuk mencari solusi PDB.