Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas teknik separasi variabel dalam mencari solusi persamaan diferensial biasa orde 1. Persamaan diferensial biasa order 1 umumnya memiliki bentuk Y aksen = A(X,Y) + B(X,Y). Saat fungsi A tidak bergantung pada Y dan tidak nol, maka persamaan tersebut linear. Teknik separasi variabel dilakukan dengan memisahkan fungsi F menjadi F(X) dan G(Y). Jika F bisa dipisahkan, persamaan differential menjadi terpisah dan dapat diintegralkan untuk mendapatkan hubungan antara X dan Y. Meskipun bentuk akhirnya bervariasi, prinsip dasarnya adalah mengintegrasikan fungsi Y dan fungsi X terpisah.

Oke, mari kita sekarang mulai membahas teknik-teknik mencari solusi bersama diferensial biasa.

Secara umum, bentuk PDB order 1 itu dapat dituliskan seperti ini,

dimana Y adalah fungsi X dan Y aksen adalah turunan Y terhadap X,

A ini adalah fungsi bisa bergantung pada X saja ataupun juga bergantung pada Y saja ataupun keduanya.

Juga ada fungsi lain di sini, ditambah B, X, Y sama dengan 0.

Secara umum ini adalah bentuk paling umum dari PDB order 1, baik yang linear maupun yang non-linear.

Seperti yang kita sudah ketahui, ketika PDB order 1-nya linear maka fungsi A ini tidak boleh bergantung pada Y, hanya bergantung pada X.

Dan A ini tidak boleh 0, dia bisa konsanta tapi tidak boleh 0, karena kalau 0 maka jadi bukan bersamaan diferensial.

Sekarang jika PDB order 1 ini saya bagi kedua ruasnya dengan fungsi A,

sehingga Y aksen ini dapat saya tuliskan sebagai suatu fungsi X, Y.

Oke, sini fungsi F besar ini adalah minus dari B per A.

Jadi kita akan selalu berusaha membawa bentuknya seperti ini.

Nah, sekarang bergantung pada bentuk fungsi F besar ini.

Kalau bentuk F besar ini bisa dinyatakan dalam bentuk yang terseparasi.

Artinya saya bisa nyatakan dia sebagai perkalian dari fungsi X saja dan fungsi Y saja.

Untuk memudahkan saya akan menuliskan seperti ini, F kecil hanyalah fungsi X dibagi dengan G kecil hanyalah fungsi Y.

Kalau kebetulan bentuk fungsi ini bisa dinyatakan sebagai tersebut, ini adalah bentuk yang terseparasi.

Keuntungannya adalah persamaan differential kita tradusin menjadi bentuk yang terseparasi.

Nah, teknik inilah yang kita namakan sebagai teknik separasi variable.

Kalau ini terpenuhi, maka kedua ruasnya kita kalikan dengan G fungsi Y dikali DX.

Ingat, Y aksen ini tidak ada lain daripada DY DX.

Saya akan tulis di sini, maka hasilnya kita bisa melihat bahwa G fungsi Y DY itu sama dengan ruas kanannya adalah F fungsi X DX.

Bentuk inilah bentuk yang kita nyatakan sudah terseparasi.

Kenapa? Karena sekarang ruas kiri hanyalah fungsi Y saja, ruas kanan hanyalah fungsi X saja.

Ini yang kita namakan sebagai bentuk terseparasi.

Kalau sudah seperti ini, maka selanjutnya tinggal kita integralkan kedua ruasnya.

Nah, tentunya kita tidak bisa melangkah lebih jauh karena kita tidak tahu secara umum fungsi G ini bisa bermacam-macam.

Demikian pula fungsi F ini bisa sembarang.

Saya belum bisa menyatakan lebih jauh lagi bentuk yang lebih sederhananya,

tapi paling tidak kita bisa melihat bahwa secara prinsip ruas kiri selalu bisa diintegralkan

Dan juga secara prinsip ruas kanan selalu bisa diintegralkan karena dia hanyalah fungsi X.

Demikian kita bisa mendapatkan fungsi Y dikaitkan dengan fungsi X.

Oke, mungkin untuk dicontoh kita akan melihat bagaimana bentuk tersebut secara eksplisit.