BAB 1. Pengantar Vektor

BAB 2. Persamaan Linear

BAB 3. Matriks

BAB 4. Determinan

BAB 5. Ruang Vektor Euclid

BAB 6. Ruang Vektor Umum

BAB 7. Ruang Hasil Kali Dalam (Inner Products Space)

BAB 8. Nilai Eigen dan Vektor Eigen

BAB 9. Diagonalisasi dan Bentuk Kuadratik

BAB 10. Transformasi Linear

Aljabar linear adalah cabang ilmu matematika yang membahas vektor, matriks, dan fungsi linear, termasuk konsep ruang vektor, nilai eigen, vektor eigen, dan dekomposisi matriks. Aljabar linear memiliki aplikasi yang sangat luas pada ilmu fisika, teknik, ilmu komputer, ekonomi, dan statistik. Rangkuman ini menjelaskan konsep aljabar linear dengan analogi sederhana dan dilengkapi video visualisasi untuk memudahkan pemahaman.

Rangkuman Aljabar Linear

Bayangkan kalian ingin pergi dari rumah menuju sebuah toko roti yang berada tidak jauh dari rumah kalian. Toko roti tersebut dapat ditempuh dengan berjalan kaki sebanyak 300 meter ke arah timur dan 400 meter ke arah utara. Hal ini sama saja dengan kalian berjalan lurus dari rumah langsung menuju toko roti sejauh 500 meter. Konsep ini dinamakan 

 dan akan menjadi bagian yang paling krusial dalam aljabar linier.

Aljabar liner dapat lebih mudah dimengerti jika kita melihat visualisasinya secara langsung.

Selain contoh yang telah diberikan tadi, vektor dapat juga diartikan sebagai daftar nomor yang diurutkan. Misalnya jika kalian ingin menganalisis sebuah harga rumah dengan komponen yang diperlukan adalah 

, maka daftar tersebut dapat dibuat ke dalam bentuk vektor seperti berikut:

\begin{aligned}
\begin{bmatrix}521,42 \;\text{m}^2 \\
\text{Rp}1.215.000
\end{bmatrix} \rightarrow
\begin{bmatrix}
521,42\\
1.215.000
\end{bmatrix}
\end{aligned}


 Kolom pertama melambangkan luas tanah dan kolom kedua melambangkan harga rumah.

Namun, di sini kita akan mempelajari vektor pada aljabar linier secara umum.

.vektor tersebut dalam bentuk seperti ini:

. Misalkan pada sebuah bidang koordinat vektor 

\begin{aligned}\vec{v}&=
\begin{bmatrix}
3 \\
2
\end{bmatrix} \qquad
&\vec{w}= 
\begin{bmatrix}
2 \\
-1
\end{bmatrix} \quad\text{atau}\\
\vec{v}&=(3,2) &\vec{w}=(2,-1)
\end{aligned}


: Di dalam beberapa literatur, notasi vektor juga kadang menggunakan huruf tebal 

 kedua vektor tersebut akan terlihat seperti berikut:

 positif (ke arah kanan) dari titik awal dan berjalan 

 positif (ke arah atas), Sedangkan vektor 

Pada ruang 3 dimensi, terdapat tambahan sumbu koordinat yaitu sumbu-

 sehingga misalkan jika kita memiliki sebuah vektor 

\begin{aligned}\vec{v}=
\begin{bmatrix}
2 \\
1 \\
1
\end{bmatrix} 
\end{aligned}


maka vektor tersebut akan terlihat sebagai berikut:

 dapat ditempuh dengan berjalan 2 langkah sepanjang sumbu-

 positif dari titik awal, 1 langkah sepanjang sumbu-

 positif , dan 1 langkah sepanjang sumbu-

Pada aljabar vektor, penjumlahan antar nilai vektor harus dilakukan dengan kolom dan baris yang sama. Misalkan terdapat vektor kolom dua dimensi dengan komponen masing-masing vektornya:

\begin{aligned}
\vec{v}=
\begin{bmatrix}
v_1 \\
v_2 \\
\end{bmatrix} \quad \text{dan} \quad \vec{w}=
\begin{bmatrix}
w_1 \\
w_2 \\
\end{bmatrix}
\end{aligned}


\boxed{\begin{aligned}
\vec{v}+\vec{w}=\begin{bmatrix}
v_1 \\
v_2 \\
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
w_1 \\
w_2 \\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
v_1 + w_1 \\
v_2 + w_2\\
\end{bmatrix}
\end{aligned}}


Jika kita memberikan nilai untuk masing-masing komponen vektor 

\begin{aligned}\vec{v}=
\begin{bmatrix}
3 \\
2
\end{bmatrix} \qquad
\vec{w}= \begin{bmatrix}
2 \\
-1
\end{bmatrix}
\end{aligned}


maka hasil nilai penjumlahan vektornya adalah:

\begin{aligned}
\vec{v}+\vec{w}=\begin{bmatrix}
3 \\
2 \\
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
2 \\
-1 \\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
3+2 \\
2-1\\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
5\\
1\\
\end{bmatrix}
\end{aligned}


: Ketika kita melakukan penjumlahan vektor, vektor yang dijumlahkan, yaitu 

 dan bukan dari titik awal/pusat koordinat.

 adalah vektor yang semua komponen vektornya bernilai 0.

\begin{aligned}\vec{0}=
\begin{bmatrix}
0 \\
\vdots \\
0
\end{bmatrix} 
\end{aligned}


\begin{aligned}\vec{a}=
\begin{bmatrix}
4 \\
\frac{1}{2} \\
-2
\end{bmatrix} \qquad
\vec{b}= \begin{bmatrix}
-1 \\
2 \\
3

\end{bmatrix}
\end{aligned}


Pelajari konsep-konsep penting dari materi BAB 1. Pengantar Vektor melalui rangkuman yang ringkas dan mudah dipahami dengan cepat.

Tes pemahamanmu dengan latihan ini!

Astronotes Terkait

Eksplor Astronotes Lainnya