Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas tentang penggunaan Interpolasi Newton dengan Divided Difference Table dalam analisis numerik. Konsep utama yang dibahas adalah pembentukan polinomial Newton menggunakan tabel pembagi difference untuk mencari nilai-nilai coeffisien yang diperlukan. Dengan metode ini, kita dapat dengan mudah melakukan interpolasi data pada titik-titik tertentu. Proses manualnya tergolong lebih sederhana dibandingkan dengan menggunakan tools excel atau membuat kode program karena melibatkan recursive call yang cukup rumit. Metode ini sangat berguna untuk melakukan aproksimasi data dengan polinomial order tertentu.

Untuk mengkonstruksikan polinomial newton secara manual apabila kita melakukan perhitungan dengan tangan

memang ada cara yang lebih handy, lebih mudah.

Kalau tadi kan ada sistem persamaan linear segitiga bawah walaupun itu juga sebetulnya juga cukup mudah.

Yaitu dengan menggunakan apa yang disebut dengan divided difference table atau tabel pembagi difference

atau tabel divided difference yang bentuknya adalah sebagai berikut.

Jadi pada kolom paling kiri itu tuliskan x i, jadi mulai dari x 0, x 1, x 2 sampai dengan x yang terakhir x n.

Di sebelahnya tuliskan semua nilai y i, disini ada y 0, ada y 1, ada y 2 dan terakhir ada y n.

Selanjutnya kita akan cari divided difference formula yang kolom pertama atau tingkat pertama dan tingkat kedua dan seterusnya.

Untuk tingkat pertama kita akan mulai pada kolom kedua yaitu selisih antara y dibagi selisih antara x.

Jadi delta y dibagi delta x, artinya apa?

Kalau disini maka saya dapatkan, oh kalau gitu y 1 dikurang y 0 dibagi dengan x 1 dikurang x 0.

Di bawahnya y 2 dikurang y 1 kan delta y nya selisih antara ini dengan atasnya dibagi dengan selisih ini berarti x 2 dikurang x 1.

Dan seterusnya sampai dengan yang terakhir y n dikurang y n min 1 dibagi dengan x n dikurang x n min 1.

Ini namanya first degree table, jadi tabel yang pada kolom pertama, kenapa dikatakan first degree?

Sebetulnya ini kan menyerupai delta y per delta x, bentuknya itu kan delta y per delta x, jadi kayak turunan pertama sebetulnya ini gitu ya.

Nah, sebagaimana kita bisa duga disini adalah yang pendekatan turunan keduanya.

Turunan kedua itu kan adalah divided artinya turunan dari turunan pertama, jadi saya lakukan hal yang sama tapi pada kolom ini.

Jadi ini dikurang ini dibagi, nah disininya karena saya sekarang akan coveragenya itu x 2 sampai x 0 gitu ya.

Kan disini ada x 2 disini ada x 0, maka pembaginya nanti x 2 dikurang x 0.

Berarti saya dapatkan y 2 dikurang y 1 dibagi x 2 dikurang x 1 dikurangi diatasnya y 1 dikurang y 0 dibagi x 1 dikurang x 0.

Secara keseluruhan saya bagi dengan x 2 dikurang x 0 dan ini saya geser semua data sampai yang terakhir artinya semuanya entrynya kayak gini juga kita lakukan.

Sampai yang terakhir misalnya adalah y n dikurang y n minus 1 dibagi x n dikurang x n minus 1.

Di sebelah atasnya akan ada y n minus 1 dikurang y n minus 2 dibagi dengan x n minus 1 dikurang x n minus 2 dan semuanya dibagi dengan x n dikurang x n minus 2.

Dan seterusnya ada berapa banyak sampai dengan n kalau disini ada n plus 1 jadi sampai dengan n di ujung sana n kolom.

Jadi kalau tadi kita punya 3 data x 0, x 1, x 2 maka dia berhenti disini.

Nah sekarang dimana letak a coeffisien ini akan menjadi a 0 jadi ini adalah untuk a 0 ini akan menjadi a 1 coeffisien tadi dan ini akan menjadi a 2 dan seterusnya.

Jadi semua elemen di diagonal inilah yang akan memberikan kita coeffisien yang kita cari.

Jadi yang berada pada diagonal dari tabel ini adalah nilai-nilai a yang kita cari.

Langsung saja kita ambil contoh tadi karena sederhana saya punya x i nya tadi adalah 1, 4, 9 cuman 3 y nya adalah 1, 2, 3 karena akar.

Berarti yang disini apa? 2 kurang 1 jadi di delta yang pertama 2 kurang 1 adalah 1, 4 kurang 1 adalah 3, oh kalau gitu 1 per 3.

Kemudian 3 dikurang 2 adalah 1, 9 kurang 4 adalah 5, oh ini 1 per 5.

Sehingga saya tahu bahwa disininya nanti 1 per 5 dikurangi dengan 1 per 3 dibagi 9 kurang 1 bagi 8.

Oke, sekarang coba 1 per 5 dikurangi 1 per 3, saya dapat 3 dikurang 5 minus 2 per 15.

Minus 2 per 15 kemudian saya harus bagi dengan 8.

Dibagi lagi dengan 8 berarti saya kalikan dengan 15 kali 8, 120 berarti ini adalah minus 2 per 120.

Sama dengan yang tadi kita dapatkan yaitu coeffisienya adalah 1, 1 per 3 dan minus 2 per 120.

Berarti P2x sama dengan 1 ditambah 1 per 3 kali x minus 1 dikurang 2 per 120 kali x minus 1 kali x minus 4.

Ini adalah hasil untuk yang tadi kita cari yaitu polinomial order 2 yang menginterpolasi data akar x pada 3 titik yaitu x sama dengan 1, x sama dengan 4 dan x sama dengan 9.

Jadi secara manual atau kalau dihitung pakai tangan ini lebih mudah.

Pakai tools excel juga gampang karena ini tinggal copy-copy formula.

Tapi kalau Anda mau bikin code maka ini mengandung recursive call disini jadi cukup merepotkan kalau ini mau digenerate pakai code tabel ini.

Sehingga kalau mau pakai program lebih baik kita selesaikan yang persamaan segitiga tadi.